複素積分1

今回は僕のTwitterのヘッダーの積分
$I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{x^{\alpha }}{x^{\beta }+1}dx}$
について解説しようと思います。
ちなみに、条件は$\beta -\alpha >1$です。

初めての記事で、拙い文章ですが、暖かく見守ってください。

この問題は複素積分を使って解きます。
積分路を原点から実軸のEの座標までを$C_1$、そこから円弧を描くように$C_2$を、円弧の先端から原点までを$C_3$として取ります。
扇形のなす角は$\frac{2\pi }{\beta }$、Eは後ほど無限大に飛ばします。

$f(z)={\displaystyle \frac{z^{\alpha }}{z^{\beta }+1}}$として、
${\displaystyle {\oint }_{C}f(z)={\int }_{C_1}+{\int }_{C_2}+{\int }_{C_3}}$

まず、${\displaystyle {\oint }_{C}f(z)}$について考えます。
特異点は$e^{\frac{\pi }{\beta }i}$
留数定理より、
${\displaystyle {\oint }_{C}f(z)=2\pi i・{\displaystyle \underset{z\to e^{\frac{\pi }{\beta }i}}{lim}f(z)(z-e^{\frac{\pi }{\beta }i})=-\frac{2\pi i}{\beta }{e}^{\frac{\alpha +1}{\beta }\pi i}}}$

$\frac{0}{0}$の不定形になっているのでロピタルの定理を使って直ちに求められます。

次に、$C_1$の積分の変数を$z=x$と置換します。
${\displaystyle \underset{{\rm E}\to \infty }{lim}{\int }_{C_1}=I}$

また、$C_3$の積分に於いては変数を$z=e^{\frac{2\pi }{\beta }i}x$と置換します。
${\displaystyle \underset{E\to \infty }{lim}{\int }_{C_3}={\int }_{\infty }^0\frac{(e^{\frac{2\pi }{\beta }i}x{)}^{\alpha }}{(e^{\frac{2\pi }{\beta }i}x{)}^{\beta }+1}{e}^{\frac{2\pi }{\beta }i}dx}$
$=-e^{2・\frac{\alpha +1}{\beta }\pi i}I$

今度は$C_2$での積分の値を不等式評価してやります。
まず$z=E{e}^{i\theta }$と置換します。
積分の絶対値を内側に入れて、三角不等式を使います。
${\displaystyle \left|{\int }_{C_2}\right|=\left|{\int }_0^{\frac{2\pi }{\beta }}\frac{(E{e}^{i\theta }{)}^{\alpha }}{(E{e}^{i\theta }{)}^{\beta }+1}Ei{e}^{i\theta }d\theta \right|}$
${\displaystyle \le {\int }_0^{\frac{2\pi }{\beta }}\frac{E^{\alpha +1}}{E^{\beta }-1}d\theta =\frac{2\pi }{\beta }・\frac{E^{\alpha +1}}{E^{\beta }-1}}$
$\beta -\alpha >1$より、${\displaystyle \underset{E\to \mathrm{\infty }}{lim}}$で0に収束します。

よって、${\displaystyle \underset{E\to \infty }{lim}}$において、
${\displaystyle {\oint }_{C}f(z)={\int }_{C_1}+{\int }_{C_2}+{\int }_{C_3}}$

${\displaystyle -\frac{2\pi i}{\beta }{e}^{\frac{\alpha +1}{\beta }\pi i}=(1-e^{2・\frac{\alpha +1}{\beta }\pi i})I}$

$sin\theta ={\displaystyle \frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$より、$I={\displaystyle \frac{\pi }{\beta }csc\frac{\alpha +1}{\beta }\pi }$

これより、証明ができました。
何かご不明な点がございましたら気軽にお申し付けください。