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【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】基本的な球と円の問題

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問題

座標空間内の 4点 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2) を考える.次の問に答えよ.

  1. 四面体 OABC に内接する級の中心の座標を求めよ.

  2. 中心の x 座標,y 座標,z 座標が全て正の実数であり,xy 平面,yz 平面,zx 平面のすべてと接する球を考える.この球が平面 ABC と交わるとき,その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ.

解答解説

(1) の解答

三角形 OAB, OBC, OCA はそれぞれ xy 平面,yz 平面,zx 平面上にあり,すべての座標の成分が非負であることから,求める球の中心の座標は (r,r,r),半径は r とおくことができる(r>0).これが平面 ABC に接すればよい.すなわち,点(r,r,r) から平面 ABC までの距離が r であればよい.

平面 ABC の方程式は x+y+z2=1 すなわち 2x+2y+z=2 であるので,
   |2r+2r+r2|22+22+12=|5r2|3=r   
が成り立つ.ただし,中心の座標 (r,r,r) は平面 2x+2y+z=2 に対して点 O と同じ側にあるので,2x+2y+z2を満たす必要がある.よって, 2r+2r+r=5r2 であるので,①より
   25r3=r すなわち 25r=3r すなわち 8r=2 すなわち r=14
である.よって,中心の座標は (14,14,14) である.この座標は 2x+2y+z2 を満たす.

(2) の解答

(1) と同じように,題意を満たす球は中心の座標は (R,R,R)で,半径は R とおける(R0).(1) より 0<R<14のときは球が平面 ABC と交わることはない.よって,R14である.中心 (R,R,R) と平面 ABC の距離 L
   L=|5R2|3
である.よって,球と平面 ABC が交わる円の半径 dd2+L2=R2 を満たすので,
d2=R2(|5R2|3)2=R219(420R+25R2)=16R2+20R49=169(R58)2+14
となる.d0 であることから,d2 が最大であるときに d が最大となる.58>14であるので,d2R=58 のときに最大となり,最大値は 14 となるので,このときの円の面積はπ4 である.

感想

特にどうということのない問題です.ちょっと難しめの教科書の演習問題というところ.最初の問題なので,新型コロナへの配慮も含めてこんなものでしょう.

投稿日:2021523
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TomYum君
TomYum君
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名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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