【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第1問】基本的な球と円の問題

問題

解答解説

(1) の解答

三角形 OAB, OBC, OCA はそれぞれ $xy$ 平面，$yz$ 平面，$zx$ 平面上にあり，すべての座標の成分が非負であることから，求める球の中心の座標は $(r,r,r)$，半径は $r$ とおくことができる($r>0$)．これが平面 ABC に接すればよい．すなわち，点$(r,r,r)$ から平面 ABC までの距離が $r$ であればよい．

平面 ABC の方程式は $x+y+\displaystyle\frac{z}{2}=1$ すなわち $2x+2y+z=2$ であるので，
\begin{equation} 　　　\frac{|2r+2r+r-2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{|5r-2|}{3}=r　　　\cdots ① \end{equation}
が成り立つ．ただし，中心の座標 $(r,r,r)$ は平面 $2x+2y+z=2$ に対して点 O と同じ側にあるので，$2x+2y+z\leqq 2$を満たす必要がある．よって， $2r+2r+r=5r\le 2$ であるので，①より
\begin{equation} 　　　\frac{2-5r}{3}=r\mbox{ すなわち }2-5r=3r\mbox{ すなわち }8r=2\mbox{ すなわち }r=\frac{1}{4} \end{equation}
である．よって，中心の座標は $\displaystyle\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ である．この座標は $2x+2y+z\le 2$ を満たす．

(2) の解答

(1) と同じように，題意を満たす球は中心の座標は $(R,R,R)$で，半径は $R$ とおける($R\geqq 0$)．(1) より $\displaystyle 0< R<\frac{1}{4}$のときは球が平面 ABC と交わることはない．よって，$R\geqq\displaystyle\frac{1}{4}$である．中心 $(R,R,R)$ と平面 ABC の距離 $L$ は
\begin{equation} 　　　L=\frac{|5R-2|}{3} \end{equation}
である．よって，球と平面 ABC が交わる円の半径 $d$ は $d^2+L^2=R^2$ を満たすので，
\begin{align} d^2&=R^2-\left(\frac{|5R-2|}{3}\right)^2 =R^2-\frac{1}{9}(4-20R+25R^2)=\frac{-16R^2+20R-4}{9}\\ &=-\frac{16}{9}\left(R-\frac{5}{8}\right)^2+\frac{1}{4}\end{align}
となる．$d\geqq 0$ であることから，$d^2$ が最大であるときに $d$ が最大となる．$\displaystyle\frac{5}{8}>\frac{1}{4}$であるので，$d^2$ は$R=\displaystyle\frac{5}{8}$ のときに最大となり，最大値は $\displaystyle\frac{1}{4}$ となるので，このときの円の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ である．

感想

特にどうということのない問題です．ちょっと難しめの教科書の演習問題というところ．最初の問題なので，新型コロナへの配慮も含めてこんなものでしょう．