1022883π-e=3213479.0000000...

定理2において、$\alpha=e^{i2\pi x}(x\in\mathbb{R})$とおくと、$\alpha$が$1$の冪根でない絶対値$1$の複素数であるとは、$x$が無理数であることと同値である。そして、$C'$が稠密であるとは、上で述べたように、$C$の任意の点においてそのいくらでも近くに$C'$の元が存在する、ということだから、$y$を任意の実数として$\beta=e^{i2\pi y}$としたとき、$\beta$にいくらでも近い$\alpha^n$が存在するということであり、偏角で言い換えればそれはまさに定理1の主張である。

$C$における距離$d:C^2\to \mathbb{R}_{\geq 0}$を、$x,y\in C$に対して、$x,y$を結ぶ円弧のうち長くない方の長さと定義して、この距離空間$(C,d)$で$C'$が稠密であることを示せばよい。
背理法で示す。$C'$が稠密でないとすると、
$$ R=\{r\in \mathbb{R}_{>0}|\exists x\in C,\ U(x;r)\cap C'=\emptyset\} $$
は空でない。ただし、$U(x;r)=\{z\in C|d(x,z)< r\}$である。そこで$r=\sup R$とおく。上限の定義より、任意の正の数$\epsilon< r$に対して、
$$ U(c;r-\epsilon)\cap C'=\emptyset $$
なる$c\in C$が存在する。このとき、任意の$n\in \mathbb{Z}$に対して、明らかに
$$ U(c\alpha^n;r-\epsilon)\cap C'=\emptyset $$
である。そこで、$C''=\{c\alpha^n|n\in \mathbb{Z}\}$とおこう。$C''$の異なる二点$s,t$を取る。もし$d(s,t)<2(r-\epsilon)$なら、$U(s;r-\epsilon)$と$U(t;r-\epsilon)$は重なるので、
$$ U(s;r-\epsilon)\cup U(t;r-\epsilon)=U(u;r-\epsilon+d(s,t)/2) $$
なる$u$が$s$と$t$の中間に取れて、
$$ U(u;r-\epsilon+d(s,t)/2)\cap C'=\emptyset $$
となるから、$r-\epsilon+d(s,t)/2\in R$である。ここで$r$の定義を思い出すと、
$$ r-\epsilon+d(s,t)/2\leq r\ \ \therefore d(s,t)\leq 2\epsilon $$
でなければならない。すなわち、$C''$の異なる二点$s,t$は、
$$ d(s,t)\leq 2\epsilon \ \ \lor\ \ d(s,t)\geq 2(r-\epsilon) $$
を満たす。$C''$と$C'$は回転の関係にあるので、上の条件は$C'$の異なる二点も満たす。$\epsilon$は任意だったから、$C'$の異なる二点$s,t$は
$$ d(s,t)\geq 2r $$
を満たすことになるが、これは$|C'|=\infty$に反する。ゆえに$C'$は稠密である。

特異点でない点$z_0≠0$をとると、$Z_0'=\{z_0\alpha^n|n\in \mathbb{Z}\}$の点で$f(z)$は一定の値をとる。定理２より$Z_0'$は円$Z_0=\{z\in \mathbb{C}||z|=|z_0|\}$において稠密であるから、$F(z)=f(z)-f(z_0)$の零点集合は集積点を持つ。よって一致の定理から、$F(z)=0$であり、$f(z)$は定数関数である。