多重ゼータ値[1]

$Z_{> 0}, Z_{\geq 0}$ をそれぞれ正整数全体、非負整数全体の集合とする。このとき、直積 $\underset{n}{\underset{⏟}{Z_{> 0} \times \dots \times Z_{> 0}}}, \underset{n}{\underset{⏟}{Z_{\geq 0} \times \dots \times Z_{\geq 0}}}$ をそれぞれ $I_{n}, J_{n}$ とおく( $I_{0} = J_{0} := {\emptyset}$ )。それらの直和 $⨆_{n \geq 0} I_{n}, ⨆_{n \geq 0} J_{n}, ⨆_{n > 0} I_{n}, ⨆_{n > 0} J_{n}$ をそれぞれ $I_{0}, J_{0}, I, J$ と表す。
この時の $I_{0}$ の元をインデックスという。 $I_{0}$ の唯一の元を空インデックスといい、 $\emptyset$ で表す。
また、インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{n}) \in I_{0}$ に対して $w t (k) = \sum_{m = 1}^{n} k_{m}$ とおき $k$ の重さといい、 $d e p (k) = n$ とおき $k$ の深さという。インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{n})$ の $k_{n}$ が $2$ 以上のとき、 $k$ を許容インデックスという。簡単のため許容インデックス全体の集合を $I^{'}$ とする。

MZV

許容インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{n})$ に対して
$ζ (k) := \sum_{0 < m_{1} < \dots < m_{n}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{n}^{k_{n}}}$
で定義される実数をインデックス $k$ の多重ゼータ値(multiple zeta value,MZV)という。

インデックスの表示

インデックス $k$ に同じ数字の配列が複数回連続して含まれているとき、以下のような特殊な記法を用いることがある。

$\begin{aligned} (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = ({1}^{7}) \\ (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2) = ({1, 2}^{4}) \\ (1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1) = ({1}^{3}, 3, 1, {2}^{2}, 1) \end{aligned}$

また、あえてこのように表記することも可能である。
$(2, 3) = (2, {1}^{0}, 3)$

双対インデックス

任意の許容インデックス $k$ は正整数 $s, a_{1}, \dots, a_{s}, b_{1}, \dots, b_{s}$ を用いた一意な表示
$k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{s} - 1}, b_{s} + 1)$
を持つ。このときの
$k^{†} = ({1}^{b_{s} - 1}, a_{s} + 1, \dots, {1}^{b_{1} - 1}, a_{1} + 1)$
を $k$ の双対インデックスという。

双対インデックスのMZV

$^{\forall} k \in I^{'}$ に対して、等式
$ζ (k) = ζ (k^{†})$
が成り立つ。

MZVの反復積分表示

$ε_{1}, \dots, ε_{n} \in {0, 1}$ に対して、
$I (ε_{1}, \dots, ε_{n}) := \int \dots \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < 1} \prod_{i = 1}^{n} \frac{d t_{i}}{A_{ε_{i}} (t_{i})}$ (ただし、 $A_{ε_{i}} (t_{i})$ は $ε_{i} = 1$ のとき $1 - t_{i}$ 、 $ε_{i} = 0$ のとき $t_{i}$ とする。)
と定めると、等式 $ζ (k_{1}, \dots, k_{n}) = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{n} - 1})$ が成り立つ。

補題2

証明

まず対数関数 $- \ln (1 - x)$ のMaclaurin展開から出発する。
$- \ln (1 - x) = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{x^{m}}{m}$
この級数は $| x | < 1$ で収束するが、 $x \to 1$ とすると発散する。このとき、 $x \to 1$ で $ζ (x) = - O (\ln (1 - x))$ である。また、左辺は
$\int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t}$ とかける。ここで、最初の等式の両辺を $x$ で割りもう一度 $0$ から $x$ まで積分すると等式
$\int_{0}^{x} (- \ln (1 - t)) \frac{d t}{t} = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{x^{m}}{m^{2}}$
を得る。これは $x \to 1$ としても収束し、 $ζ (2)$ を与える。
このとき、上の式の左辺は
$\int_{0}^{x} (\int_{0}^{t_{1}} \frac{d t_{2}}{1 - t_{2}}) \frac{d t_{1}}{t_{1}} = \iint_{0 < t_{1} < t_{2} < x} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}}$
と変形できるから $I (1, 0) = I (1, {0}^{2 - 1}) = ζ (2)$ で定理は $k = 2$ のとき正しい。同様にして
$\int \dots \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < x} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \dots \frac{d t_{n}}{t_{n}} = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{x^{m}}{m^{n}}$
を得るから
$\begin{aligned} I (1, {0}^{n - 1}) & = \int \dots \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < 1} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \dots \frac{d t_{n}}{t_{n}} \\ = \sum_{n > 0} \frac{1}{m^{n}} \\ = ζ (n) \end{aligned}$
が(比較的容易に)わかる。
先ほどの式
$\int \dots \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < x} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \dots \frac{d t_{n}}{t_{n}} = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{x^{m}}{m^{n}}$
の両辺を $(1 - x)$ で割って $0$ から $x$ まで積分すると、
$\begin{aligned} \int_{0}^{x} \int \dots \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{n} < t} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \dots \frac{d t_{n}}{t_{n}} \frac{d t}{1 - t} & = \sum_{m = 1}^{\infty} \int_{0}^{x} \frac{t^{m}}{m^{n}} \frac{d t}{1 - t} \\ = \int_{0}^{x} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{t^{m}}{m^{n}} \sum_{k = 0}^{\infty} t^{k} d t \\ = \sum_{m, k > 0} \frac{x^{m + k}}{m^{n} (m + k)} \end{aligned}$
を得る(これは $| x | < 1$ で収束する)。ここで $m + k \mapsto k$ とすれば
$\sum_{m, k > 0} \frac{x^{m + k}}{m^{n} (m + k)} = \sum_{0 < m < k} \frac{x^{k}}{m^{n} k}$
となる。これは $x \to 1$ では収束しないが、これを $x$ で割って $0$ から $x$ まで積分した級数
$\sum_{0 < m < k} \frac{x^{k}}{m^{n} k^{2}}$
は収束し、 $ζ (n, 2)$ となる。
以下、同様にして $(1 - x)$ で割って $0$ から $x$ まで積分すればインデックスの深さが $1$ 増え、 $x$ で割って $0$ から $x$ まで積分すればインデックスの末尾が $1$ 増える。
よって、 $ζ (k) = I (1, {0}^{k_{1} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{n} - 1})$ が成り立つ。

定理1

証明

双対インデックスの定義より、 $k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{s} - 1}, b_{s} + 1)$ としたときの $k^{†}$ は $({1}^{b_{s} - 1}, a_{s} + 1, \dots, {1}^{b_{1} - 1}, a_{1} + 1)$ だから
$\begin{aligned} ζ (k) & = I ({1}^{a_{1} - 1}, 1, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{s} - 1}, 1, {0}^{b_{s}}) \\ = I ({1}^{a_{1}}, {0}^{b_{1}}, \dots, {1}^{a_{s}}, {0}^{b_{s}}) \end{aligned}$
また、
$\begin{aligned} ζ (k^{†}) & = I ({1}^{b_{s}}, {0}^{a_{s}}, \dots, {1}^{b_{1}}, {0}^{a_{1}}) \end{aligned}$
である。ここで変数変換 $t_{i} \mapsto 1 - t_{k + 1 - i}$ を施せば、上の等式が成り立つことが(比較的容易に)わかる。

投稿日：2021年5月23日

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