3

多重ゼータ値[1]

92
1

Z>0,Z0をそれぞれ正整数全体、非負整数全体の集合とする。このとき、直積Z>0××Z>0n,Z0××Z0nをそれぞれIn,Jnとおく(I0=J0:={})。それらの直和n0In,n0Jn,n>0In,n>0JnをそれぞれI0,J0,I,Jと表す。
この時のI0の元をインデックスという。I0の唯一の元を空インデックスといい、で表す。
また、インデックスk=(k1,,kn)I0に対してwt(k)=m=1nkmとおきk重さといい、dep(k)=nとおきk深さという。インデックスk=(k1,,kn)kn2以上のとき、k許容インデックスという。簡単のため許容インデックス全体の集合をIとする。

MZV

許容インデックスk=(k1,,kn)に対して
ζ(k):=0<m1<<mn1m1k1mnkn
で定義される実数をインデックスk多重ゼータ値(multiple zeta value,MZV)という。

インデックスの表示

インデックスkに同じ数字の配列が複数回連続して含まれているとき、以下のような特殊な記法を用いることがある。

(1,1,1,1,1,1,1)=({1}7)(1,2,1,2,1,2,1,2)=({1,2}4)(1,1,1,3,1,2,2,1)=({1}3,3,1,{2}2,1)

また、あえてこのように表記することも可能である。
(2,3)=(2,{1}0,3)

双対インデックス

任意の許容インデックスkは正整数s,a1,,as,b1,,bsを用いた一意な表示
k=({1}a11,b1+1,,{1}as1,bs+1)
を持つ。このときの
k=({1}bs1,as+1,,{1}b11,a1+1)
k双対インデックスという。

双対インデックスのMZV

kIに対して、等式
ζ(k)=ζ(k)
が成り立つ。

MZVの反復積分表示

ε1,,εn{0,1}に対して、
I(ε1,,εn):=0<t1<<tn<1i=1ndtiAεi(ti)(ただし、Aεi(ti)εi=1のとき1tiεi=0のときtiとする。)
と定めると、等式ζ(k1,,kn)=I(1,{0}k11,,1,{0}kn1)が成り立つ。

補題2
証明


まず対数関数ln(1x)のMaclaurin展開から出発する。
ln(1x)=m=1xmm
この級数は|x|<1で収束するが、x1とすると発散する。このとき、x1ζ(x)=O(ln(1x))である。また、左辺は
0xdt1tとかける。ここで、最初の等式の両辺をxで割りもう一度0からxまで積分すると等式
0x(ln(1t))dtt=m=1xmm2
を得る。これはx1としても収束し、ζ(2)を与える。
このとき、上の式の左辺は
0x(0t1dt21t2)dt1t1=0<t1<t2<xdt11t1dt2t2
と変形できるからI(1,0)=I(1,{0}21)=ζ(2)で定理はk=2のとき正しい。同様にして
0<t1<<tn<xdt11t1dt2t2dtntn=m=1xmmn
を得るから
I(1,{0}n1)=0<t1<<tn<1dt11t1dt2t2dtntn=n>01mn=ζ(n)
が(比較的容易に)わかる。
先ほどの式
0<t1<<tn<xdt11t1dt2t2dtntn=m=1xmmn
の両辺を(1x)で割って0からxまで積分すると、
0x0<t1<<tn<tdt11t1dt2t2dtntndt1t=m=10xtmmndt1t=0xm=1tmmnk=0tk dt=m,k>0xm+kmn(m+k)
を得る(これは|x|<1で収束する)。ここでm+kkとすれば
m,k>0xm+kmn(m+k)=0<m<kxkmnk
となる。これはx1では収束しないが、これをxで割って0からxまで積分した級数
0<m<kxkmnk2
は収束し、ζ(n,2)となる。
以下、同様にして(1x)で割って0からxまで積分すればインデックスの深さが1増え、xで割って0からxまで積分すればインデックスの末尾が1増える。
よって、ζ(k)=I(1,{0}k11,,1,{0}kn1)が成り立つ。

定理1
証明


双対インデックスの定義より、k=({1}a11,b1+1,,{1}as1,bs+1)としたときのk({1}bs1,as+1,,{1}b11,a1+1)だから
ζ(k)=I({1}a11,1,{0}b1,,{1}as1,1,{0}bs)=I({1}a1,{0}b1,,{1}as,{0}bs)
また、
ζ(k)=I({1}bs,{0}as,,{1}b1,{0}a1)
である。ここで変数変換ti1tk+1iを施せば、上の等式が成り立つことが(比較的容易に)わかる。

投稿日:2021523
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Ιδέα
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