n個の複素数が正n角形をなす条件

(ii)と(iii)の同値は明らかである。実際、(ii)は
$$ f'(z)=n\left(z-\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n}\right)^{n-1} $$
すなわち
$$ f(z)=\left(z-\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n}\right)^n+c $$
であるということなので、係数比較して整理すれば(iii)を得る。よって、以下では(i)と(ii)が同値であることを示す。(ii)ならば(i)も上の式から明らかなので、(i)から(ii)を導けばよい。
関数$\phi(z)$を
$$ \phi(z)=\left(z-\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n}\right)e^{i\frac{2\pi}{n}}+\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n} $$
とおく。正$n$角形の重心周りの$\frac{2\pi}{n}$回転である。このとき、
$$ f(\phi(z))=(\phi(z)-\alpha_1)\cdots(\phi(z)-\alpha_n)\\ =(\phi(z)-\phi(\alpha_1))\cdots(\phi(z)-\phi(\alpha_n))\\ =\{e^{i\frac{2\pi}{n}}(z-\alpha_1)\}\cdots \{e^{i\frac{2\pi}{n}}(z-\alpha_n)\}\\ =f(z) $$
となり、$f(z)$は$\phi$で不変である。ただし、上の二つ目の$=$は、(i)を用いた。$f(\phi(z))=f(z)$を$z$で微分して、
$$ f'(z)=\frac{df(\phi(z))}{dz}=f'(\phi(z))e^{i\frac{2\pi}{n}} $$
であるから、$f'(z)$の零点集合も、重複を含めて$\phi$で不変である、すなわち正$n$角形の重心周りの$\frac{2\pi}{n}$回転に関して対称性を持つ。しかし、この零点集合は元が$n-1$個しかない。それなのにこのような対称性を持つのは、$n-1$個の零点がすべて重心に一致する場合のみであり、(ii)が導かれた。

$\langle \sigma \rangle$の位数は$n$である。よって、その不変体を$K$とすると、$[\mathbb{C}(z):K]=n$が成り立つ。明らかに$z^n\in \mathbb{C}(z)$は$K$の元だから、$K\supset \mathbb{C}(z^n)$である。$X^n-z^n\in \mathbb{C}(z^n)[X]$は$z$を根にもつので、$\mathbb{C}(z)=\mathbb{C}(z^n)(z)$と合わせて、$[\mathbb{C}(z):\mathbb{C}(z^n)]\leq n$である。よって、$[K: \mathbb{C}(z^n)]=1$すなわち$K=\mathbb{C}(z^n)$となる。