Fourier変換の微分作用素表示（Hermite関数基底）

今日はフーリエ変換を微分作用素で表示するという一番好きな定理を紹介する。

沢山の流儀の中でフーリエ変換作用素$\mathcal{F}$を

${\displaystyle \mathcal{F}g(x):={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)e^{-ixt}dt}$

で定義する。

定理1  Fourier Tranceform＆differential operator

$\mathcal{F}=\exp \left({\displaystyle \frac{i\pi }{4}}({\displaystyle \frac{d}{dx}}-x)({\displaystyle \frac{d}{dx}}+x)\right)$

定理2

$\exp \left(i\pi x{\displaystyle \frac{d}{dx}}\right)=\exp \left({\displaystyle \frac{i\pi }{2}}({\displaystyle \frac{d}{dx}}-x)({\displaystyle \frac{d}{dx}}+x)\right)$

定理3

${\displaystyle e^{i\pi (\frac{d^2}{d{x}^2}-x^2)}=-1}$

Eulerの等式に引けを取らない美しい等式でめっちゃ好きです！

参考文献は「数学の現在 $\pi$ 」の第1講小林俊之さんのところです。
この本は数学の諸分野を東大の教授が紹介する感じで、情報多くて面白いです!

今回の定理の主張自体が他の文献やネットに無いので、自力で証明を発見したのでそれを自分のblogに載せたものを今回持ってきた。

色々定義。

$\mathcal{D}={\displaystyle \frac{d}{dx}}$

$\mathcal{A}=x-\mathcal{D}$

$h_0(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,h_{n+1}(x)=\mathcal{A}・h_n(x)$

フーリエ変換作用素を作用させても

関数が定数倍しか変化しない固有関数について考えてみると、

Gauss積分から$\mathcal{F}・h_0(x)=h_0(x)$である事が導かれる。

詳しくやると、割と有名な極座標への変換のメソッドで

${\displaystyle ({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}{)}^2}$

$={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy}$

$={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-r^2}drd\theta }$

$={\displaystyle \pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-r^2}dr}$

$={\displaystyle \pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{s}ds}$

$=\pi$

なので

$\mathcal{F}・h_0(x)$

$={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\frac{1}{2}{t}^2+ixt)dt}$

$={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}(t-ix{)}^2}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi }}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}dt}$

$=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}=h_0(x)$

という風に示される。

更に任意の整数kについて

$\mathcal{F}・h_k(x)=(-i{)}^k{h}_k(x)$

 が成り立つ。これを示す為に、

$\mathcal{A}と\mathcal{F}$の関係を調べる

任意の可積分(絶対値の$\mathbb{R}$上の積分値が有限な)関数gについて 

${\displaystyle \mathcal{FA}・g(x)}$

${\displaystyle =\mathcal{F}・(xg(x)-g^{\prime }(x))}$

${\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ixt}(tg(t)-g^{\prime }(t))dt)}$

${\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}(i{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ixt}g(t)dt-[e^{-ixt}g(t){]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-ix{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ixt}g(t)dt)}$

${\displaystyle =-i(x-{\displaystyle \frac{d}{dx}})\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ixt}g(t)dt}$

$=-i\mathcal{AF}・g(x)$

つまり作用素の合成として

$\mathcal{FA}=-i\mathcal{AF}$

なる関係が成り立つ。よって任意の正整数$n$について

$\mathcal{F}・h_n(x)$

$={\mathcal{FA}}^n・h_0(x)$

$=-i{\mathcal{AFA}}^{n-1}・h_0(x)$

$\cdots$

$=(-i{)}^n{\mathcal{A}}^n\mathcal{F}・h_0(x)$

$=(-i{)}^n{\mathcal{A}}^n・h_0(x)$

$(-i{)}^n{h}_n(x)$

故に$\mathcal{F}・h_n(x)=(-i{)}^n{h}_n(x)$

$h_n$はフーリエ変換の固有関数と分かった

定義式から任意の自然数nについて

$e^{\frac{1}{2}{x}^2}{h}_n(x)$はn次多項式と分かる。

なので複素平面上でテイラー展開可能である任意の関数は$\{h_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$を基底とした$\mathbb{C}$線形空間の元であるから、

 $\{h_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$に対して作用した結果が等しいなら

基底の構造から、定理1を示せる。

各$h_n$は$\mathcal{A}とh_0(x)$から作られるので

$\mathcal{A}とh_0(x)$に対する作用の結果が等しいなら、

任意の関数に対して作用した結果が等しく作用素としての等号が成り立つ。

それでは後半。

$\mathcal{D}x-x\mathcal{D}=1$

という公式を使う。

作用素$A、B$に対し

交換子括弧

$ad(A)・B=[A,B]$ $=AB-BA$

随伴作用

$Ad(A)・B=AB{A}^{-1}$

と定義するとLie群とLie環の関係を考えると

任意の$\lambda \in \mathbb{C}、作用素A$に対し

$\exp (\lambda ad(A))=Ad(\exp \left(\lambda A\right))$

となる。双線型と反交換性を持つ作用素なので

$[\mathcal{D},x]=1$を用いると、

$[\mathcal{A}(\mathcal{D}+x),\mathcal{A}]$

$=\mathcal{A}[\mathcal{D}+x,\mathcal{A}]$

$=\mathcal{A}[\mathcal{D},x]-[x,\mathcal{D}])$

$=2\mathcal{A}$

となることがわかるので、

$A=\mathcal{A}(D+x)、\lambda =-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}$を代入して$\mathcal{A}$に作用させると

$Ad(\exp (-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}\mathcal{A}(\mathcal{D}+x)))・\mathcal{A}$

$=\exp (-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}ad\left(\mathcal{A}(\mathcal{D}+x)\right))・\mathcal{A}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}{(-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}})}^{n}ad{\left(\mathcal{A}(\mathcal{D}+x)\right)}^n・\mathcal{A}}$

${\displaystyle =\mathcal{A}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}{(-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}})}^{n-1}\times (-{\displaystyle \frac{i\pi }{2}})ad{\left(\mathcal{A}(\mathcal{D}+x)\right)}^{n-1}・\mathcal{A}}$

$=\cdots$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}{(-{\displaystyle \frac{i\pi }{2}})}^n\mathcal{A}}$

${\displaystyle =-i\mathcal{A}}$

よって

$\exp (-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}\mathcal{A}(\mathcal{D}+x))\mathcal{A}=-i\mathcal{A}\exp (-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}\mathcal{A}(\mathcal{D}+x))$

となる。また、

$(\mathcal{D}+x)h_0(x)$

$=-x{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}+x{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

$=0$

なので

${\displaystyle \exp (-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}}\mathcal{A}(\mathcal{D}+x))h_0(x)}$

${\displaystyle =h_0(x)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(-{\displaystyle \frac{i\pi }{4}})}^n{\left(\mathcal{A}(\mathcal{D}+x)\right)}^n{h}_0(x)}$

$=h_0(x)$

よって$\mathcal{A}とh_0(x)$に対して作用した結果が等しい事が分かった。

これで先程言ったように任意の$h_n$について作用の結果が等しく、任意の関数について作用の結果が等しいので作用素の等号が成り立つ

これで定理1は証明完了である。

$\mathcal{F}=\exp \left({\displaystyle \frac{i\pi }{4}}(\mathcal{D}-x)(\mathcal{D}+x)\right)$

ところでフーリエ変換の作用には周期性がある事が知られている。すなわち

${\mathcal{F}}^{4}f(x)=f(x)$ 

が成立する。

計算してみると、$n$が偶数、奇数なら

それぞれ$h_n$は偶関数、奇関数である事が分かる。

任意の関数gに対し複素数列$\{c_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$があって

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{h}_n(x)}$

と書けるのでこれを使って

${\mathcal{F}}^2・g(x)$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\mathcal{F}}^2・h_n(x)}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(-1{)}^n{h}_n(x)}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{h}_n(-x)}$

$=g(-x)$ 

となるので、

${\mathcal{F}}^{2}g(x)=g(-x)$

これはつまり2階フーリエ変換は「引数マイナス倍の作用素」と言える。

ここで$x\mathcal{D}{x}^p=p{x}^p$となる事から、$\exp とf$をテイラー展開して掛け合わせると

${\displaystyle a^{x\mathcal{D}}f(x)=f(ax)}$

と分かるので、定理2を導けた

${\mathcal{F}}^2=e^{i\pi x\mathcal{D}}$

また、直ちに

${\mathcal{F}}^4=1$

これは、4回フーリエ変換すれば元に戻るということである。

定理1を使って書き換えると

${\displaystyle \exp (i\pi (\mathcal{D}-x)(\mathcal{D}+x))=1}$

さらに$[\mathcal{D},x]=1$を使うと、

${\displaystyle \exp (i\pi ({\mathcal{D}}^2-x\mathcal{D}+\mathcal{D}x-x^2))=1}$

${\displaystyle \exp (i\pi ({\mathcal{D}}^2-x^2+1))=1}$

より定理3が導かれた

${\displaystyle \exp (\pi i({\mathcal{D}}^2-x^2))=-1}$

 $e^{2\pi i({\mathcal{D}}^2-x^2)}=1$

この結果は多重化することも可能です。つまり

$X=(x_1,x_2,\cdots x_n)$、$\mathrm{\nabla }=({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_1}},{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_2}},\cdots ,{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_n}})$ 

と置くと$作用素A,B$が$[A,B]=0$ならば指数法則が成立し

$e^A{e}^B=e^{A+B}$となるので

$e^{2\pi i({\mathrm{\nabla }}^2-X^2)}=1$

内積で${\mathrm{\nabla }}^2$はラプラシアンですがすごく美しい関係式です!

調和解析の1分野として分階数フーリエ変換が提案されている。

これは人工的な概念では$t$階フーリエ変換は指数関数として

${\mathcal{F}}^t=\exp \left({\displaystyle \frac{i\pi t}{4}}(\mathcal{D}-x)(\mathcal{D}+x)\right)$

として書く事が出来るのが有用な概念として位置づけられる理由である。