【京都大学2021年度前期入試数学(文系)第5問】簡単？難しい？整数問題

すでに YouTube でも話題になっている整数問題です．

問題

解答解説

強烈に短い問題文ですが，短いがゆえにどうしていいか困ったかもしれません．

しかし，実際には難しくはないと思います．というか，難しく考えない方がいいです．

$p$ は素数であるので，$p = 3$ もしくは $p \equiv \pm 1 \pmod{3}$ である．

$p = 3$ のとき，$p^4 + 14 = 84 + 14 = 95 = 5 \times 19$ より，$p^4 + 14$ は素数ではない．

$p \equiv \pm 1 \pmod{3}$ であるとき，$p^2 ≡ 1 \pmod{3}$ であり，$p^4=(p^2)^2\equiv 1 \pmod{3}$ であるので，$p^4+14\equiv 15\equiv 0\pmod{3}$ となり，$p^4 + 14$ は $3$ で割り切れる．$p^4+14>14$ であるので，$p^4 + 14$ は素数ではない．

以上のことから，$p$ が素数ならば $p^4 + 14$ は素数でない．

感想

証明を見て分かる通り，実は $p$ が素数でなくても $p^4 + 14$ が素数にならない場合がたくさんあります．実際，$p$ が $3$ の倍数でないならば $p^4 + 14$ は素数になりません．

また，$p$ が $5$ の倍数でないときにも，$p^2 \equiv 1, 4 \pmod{5}$ より $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ であることから，$p^4 + 14 \equiv 15 \equiv 0 \pmod{5}$ となって，$p^4 + 14$ が素数でないことが言えます．

このように言われれば簡単に証明できるのですが，条件を「$p$ が素数」とすることで，こういう方針を気付きにくくさせています．それが出題者の意図だろうと思います．