LittlewoodによるTauberの定理の拡張

$N\in \mathbb{N}$とし、$x=1-{\displaystyle \frac{1}{N}}$とおく。三角不等式より
$$\begin{array}{rl}|\sum _{n=0}^N{a}_n-f(x)|& =|\sum _{n=0}^N{a}_n-\sum _{n=0}^N{a}_n{x}^n-\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n|\\ & \le \left|\sum _{n=0}^N{a}_n(1-x^n)\right|+\left|\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right|\\ & \le \sum _{n=0}^N|a_n|(1-x^n)+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|x^n\end{array}$$
となるが、最右辺第一項は
$$1-x^n=(1-x)\sum _{k=1}^n{x}^{k-1}<(1-x)\sum _{k=1}^{n}1=n(1-x)$$
より
$$\sum _{n=0}^N|a_n|(1-x^n)<(1-x)\sum _{n=0}^{N}n|a_n|$$
と評価でき、$x=1-{\displaystyle \frac{1}{N}}$を代入すると、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=0}$及びCesaro平均より
$$(1-x)\sum _{n=0}^{N}n|a_n|=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N}n|a_n|\to 0(N\to \mathrm{\infty })$$
を得る．また，第二項は
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|x^n& =\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|\cdot \frac{1}{n}{x}^n\\ & <\frac{1}{n}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|x^n\\ & \le \frac{1}{n}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}(\underset{k\ge N+1}{sup}k|a_k|)x^n\\ & <\frac{1}{n}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(\underset{k\ge N+1}{sup}k|a_k|)\\ & =\underset{k\ge N+1}{sup}k|a_k|\\ & \to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}n|a_n|(N\to \mathrm{\infty })\\ & =0\end{array}$$
となる。以上から
$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=0}^N{a}_n=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$$
すなわち
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\alpha$$
が従う。

以下、$\epsilon >0$を任意とする。${\displaystyle f(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}$とおく。まず、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n}$が収束するので、ある定数$C>0$が存在し、任意の$n\in \mathbb{N}$で$|a_n|<{\displaystyle \frac{C}{n}}$が成り立つ。また
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$$
より、$f$の収束半径は$1$である。

さて、補題3における関数$g,h$を
$$g(t):=\{\begin{array}{ll}0& (0\le t<e^{-1})\\ 1& (e^{-1}\le t\le 1)\end{array}$$
により定める(すなわち$c=e^{-1}$)と、$N\in \mathbb{N}$に対し
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)=\sum _{n=0}^N{a}_n$$
となる。ここで、補題3における$P_{\epsilon }$に対し、多項式$Q$を
$$Q(t):=t(1-t)P_{\epsilon }(t)+t$$
で定めると
$$Q(1)=1,Q(t)\ge g(t),\frac{Q(t)-g(t)}{1-t}=t\{P_{\epsilon }(t)-h(t)\}(\mathrm{\forall }t\in [0,1])$$
となる。さらに、多項式$Q$を${\displaystyle Q(x)=\sum _k{c}_k{x}^k}$とおくと、$f$の収束半径が1であることから、$|x|<1$のとき次のように和の交換が可能で、$x\to 1-0$で
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}Q(x^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _k{c}_k{x}^{kn}=\sum _k{c}_k\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x^k{)}^n=\sum _k{c}_{k}f\left(x^k\right)\to \sum _k{c}_k\alpha =Q(1)\alpha =\alpha$$
となる。よって$x=e^{-\frac{1}{N}}$とおけば、ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在して，$N>N_1$なら
$$|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-\alpha |<\epsilon$$
が成り立つ。

また、補題4より$x=e^{-\frac{1}{N}}$とおけば、ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在して、$N>N_2$なら
$$\begin{gathered} |(1-e^{-\frac{1}{N}})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n}{N}}{P}_{\epsilon }\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-{\int }_0^1{P}_{\epsilon }(t)dt|<\epsilon \\ |(1-e^{-\frac{1}{N}})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n}{N}}h\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt|<\epsilon \end{gathered}$$
が成立する。

以上から、$N>max\{N_1,N_2\}$のとき
$$\begin{array}{rl}|\sum _{n=0}^N{a}_n-\alpha |& =|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-\alpha |\\ & \le |\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)|+|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-\alpha |\\ & =\left|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\{g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)\}\right|+|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-\alpha |\\ & <\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n||g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)|+\epsilon \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{C}{n}\{Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)\}+\epsilon \\ & \le C\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-e^{-\frac{1}{N}}}{1-e^{-\frac{n}{N}}}\{Q\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-g\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)\}+\epsilon \left({\displaystyle \because \frac{1-e^{-\frac{n}{N}}}{1-e^{-\frac{1}{N}}}=\sum _{k=1}^n{e}^{-\frac{k-1}{N}}\le n}\right)\\ & =C(1-e^{-\frac{1}{N}})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n}{N}}\{P_{\epsilon }\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-h\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)\}+\epsilon \\ & =C\{(1-e^{-\frac{1}{N}})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n}{N}}{P}_{\epsilon }\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-{\int }_0^1{P}_{\epsilon }(t)dt\}\\ & -C\{(1-e^{-\frac{1}{N}})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n}{N}}h\left(e^{-\frac{n}{N}}\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\}+C{\int }_0^1\{P_{\epsilon }(t)-h(t)\}dt+\epsilon \\ & <(3C+1)\epsilon \end{array}$$
となる。従って
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\alpha$$
であることが示された。

$\epsilon >0$を任意にとる。まず$P_{\epsilon }$について示す。$y=h(t)$は、$0\le t<c$と$c\le t\le 1$において共に単調減少し
$$h(c-0):=\underset{t\to c-0}{lim}h(t)<h(c)$$
を満たす。これより、ある$\delta >0$が存在し。$0<c-t\le \delta$なら
$$0<h(t)-h(c-0)\le \epsilon$$
が成り立つ。また、$\epsilon \to +0$のとき$\delta \to +0$なので、$\delta$を
$$\delta <min\{\frac{\epsilon }{h(c)-h(c-0)},\frac{1}{2}\}$$
を満たすようにとれる。ここで、単調増加な一次関数$L$を
$$L(c-\delta )=h(c-\delta )+\epsilon ,L(c)=h(c)+\epsilon$$
を満たすように定めると、$c-\delta \le t<c$のとき
$$\begin{array}{rl}L(t)-h(t)& =L(t)-h(c-\delta )+h(c-\delta )-h(c-0)+h(c-0)-h(t)\\ & =L(t)-\{L(c-\delta )-\epsilon \}+\{h(c-\delta )-h(c-0)\}-\{h(t)-(c-0)\}\\ & <L(t)-L(c-\delta )+\epsilon +\epsilon <L(c)-L(c-\delta )+2\epsilon \\ & =h(c)-h(c-\delta )+2\epsilon \\ & =h(c)-h(c-0)+h(c-0)-h(c-\delta )+2\epsilon \\ & <\frac{\epsilon }{\delta }+2\epsilon <\frac{2\epsilon }{\delta }\end{array}$$
が成り立つ。さらに、関数$M:[0,1]\to \mathbb{R}$を
$$M(t)=\{\begin{array}{ll}h(x)+\epsilon & (0\le t<c-\delta ，c<t\le 1)\\ max\{L(t),h(t)+\epsilon \}& (c-\delta \le t\le c)\end{array}$$
で定めると
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\{M(t)-h(t)\}dt& ={\int }_0^{c-\delta }\{M(t)-h(t)\}dt+{\int }_{c-\delta }^c\{M(t)-h(t)\}dt+{\int }_c^1\{M(t)-h(t)\}dt\\ & ={\int }_0^{c-\delta }\epsilon dt+{\int }_{c-\delta }^c\{K(t)-h(t)\}dt+{\int }_c^1\epsilon dt\\ & <\epsilon +{\int }_{c-\delta }^c\{M(t)-h(t)\}dt\\ & \le \epsilon +{\int }_{c-\delta }^{c}max\{L(t)-h(t),\epsilon \}dt\\ & \le \epsilon +{\int }_{c-\delta }^{c}max\{\frac{2\epsilon }{\delta },\epsilon \}dt\\ & =\epsilon +\delta \cdot \frac{2\epsilon }{\delta }(\because \delta <{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ & =3\epsilon \end{array}$$
を得る。また$M$は連続なので、Weierstrassの近似定理より、多項式$P_{\epsilon }$が存在して
$$|M(t)-P_{\epsilon }(t)|\le \epsilon$$
が成り立つ。常に$M(t)\ge h(t)+\epsilon$が成り立つから、以上より
$$h(t)\le M(t)-\epsilon \le P_{\epsilon }(t)$$
及び
$${\int }_0^1\{P_{\epsilon }(t)-h(t)\}dt={\int }_0^1\{P_{\epsilon }(t)-M(t)\}dt+{\int }_0^1\{M(t)-h(t)\}dt<4\epsilon$$
が従い、示された。

次に$p_{\epsilon }$について示す。$\epsilon >0，\delta >0$を$P_{\epsilon }$のときと同じようにとり、単調増加な一次関数$l$を
$$l(c-\delta )=h(c-\delta )-\epsilon ,l(e^{-1})=h(c)-\epsilon$$
を満たすように定める。すると、上と同様に評価することで、$c-\delta \le t<c$において
$$h(t)-l(t)<\frac{2\epsilon }{\delta }$$
が成り立つことが分かる。さらに、関数$m:[0,1]\to \mathbb{R}$を
$$m(t)=\{\begin{array}{ll}h(x)-\epsilon & (0\le t<c-\delta ，c<t\le 1)\\ min\{l(t),h(t)-\epsilon \}& (c-\delta \le t\le c)\end{array}$$
で定めると、関数$M$のときと同様にして
$${\int }_0^1\{h(t)-m(t)\}dt<3\epsilon$$
を得る。また$m$は連続なので、Weierstrassの近似定理より、多項式$p_{\epsilon }$が存在して
$$|m(t)-p_{\epsilon }(t)|\le \epsilon$$
が成り立つ。常に$m(t)\le h(t)-\epsilon$が成り立つから、以上より
$$h(t)\ge m(t)+\epsilon \ge p_{\epsilon }(t)$$
及び
$${\int }_0^1\{h(t)-p_{\epsilon }(t)\}dt={\int }_0^1\{h(t)-m(t)\}dt+{\int }_0^1\{m(t)-p_{\epsilon }(t)\}dt<4\epsilon$$
が従い、示された。

${\displaystyle P(x)=\sum _k{b}_k{x}^k}$とおくと、$|x|<1$に対し、$x\to 1-0$で
$$\begin{array}{rl}(1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}P\left(x^n\right)& =(1-x)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}P\left(x^n\right)-(1-x)P(1)\\ & =(1-x)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _k{b}_k{x}^{(k+1)n}-(1-x)P(1)\\ & =(1-x)\sum _k{b}_k\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(x^{k+1}\right)}^n-(1-x)P(1)\\ & =\sum _k{b}_k\frac{1-x}{1-x^{k+1}}-(1-x)P(1)\\ & \to \sum _k\frac{b_k}{k+1}=\sum _k{b}_k{\int }_0^1{t}^{k}dt={\int }_0^1\sum _k{b}_k{t}^k={\int }_0^{1}P(t)dt\end{array}$$
となり一つ目の極限が示された。

また、$0<x<1$に対し、$x\to 1-0$において
$$(1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}h\left(x^n\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\le (1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{P}_{\epsilon }\left(x^n\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\to {\int }_0^1\{P_{\epsilon }(t)-h(t)\}dt<\epsilon$$
及び
$$(1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}h\left(x^n\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\ge (1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{p}_{\epsilon }\left(x^n\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\to {\int }_0^1\{p_{\epsilon }(t)-h(t)\}dt>-\epsilon$$
となるが、$\epsilon >0$は任意であったので、$\epsilon \to +0$とすれば
$$\underset{x\to 1-0}{lim}\{(1-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}h\left(x^n\right)-{\int }_0^{1}h(t)dt\}=0$$
となり2つ目の極限も示された。

$a_n=s_n+t_{n}i(s_n,t_n\in \mathbb{R})$とし、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{s}_n=s,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{t}_n=t}$とおく(すなわち、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=s+ti(s,t\in \mathbb{R})}$)。また、${\displaystyle f(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}$とおく。このとき
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n+\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}_n{x}^n\right)i$$
となる。ここで$s>0$と仮定すると、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{s}_n=s}$より、任意の$\epsilon >0$に対してある$N\in \mathbb{N}$が存在し、$n>N$なら
$$|n{s}_n-s|<\epsilon$$
が成り立つ。よって、$\epsilon \in (0,s)$を満たすように$\epsilon$をとると
$$n{s}_n>s-\epsilon >0$$
となる。この$\epsilon$を固定し、それに対する$N$をとると
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n& =\sum _{n=0}^N{s}_n{x}^n+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n\\ & >\sum _{n=0}^N{s}_n{x}^n+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{s-\epsilon }{n}{x}^n\\ & =\sum _{n=0}^N{s}_n{x}^n-(s-\epsilon )\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}{x}^n+(s-\epsilon )\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\\ & =\sum _{n=0}^N{s}_n{x}^n-(s-\epsilon )\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}{x}^n-(s-\epsilon )\log (1-x)\\ & =\sum _{n=0}^N{s}_n{x}^n-(s-\epsilon )\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}{x}^n+(s-\epsilon )\log \left(\frac{1}{1-x}\right)\\ & \to \mathrm{\infty }(x\to 1-0)\end{array}$$
となり、${\displaystyle \underset{x\to 1-0}{lim}f(x)}$が収束することに矛盾する。$s<0$のときも同様の議論により矛盾が導かれ、また$t$についても同様の結果を得る。これより、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n}$が収束するならば、その値は$0$に限られることが示された。