Eisensteinの既約判定法について

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導入

多項式の既約性判定法として有名なものにEisensteinの既約判定法がありますが，どうも文献によって「既約」という用語の定義にブレがあって混乱のもとになっているようです．整理してしまえば簡単なことなので，Mathlogの練習がてらまとめてみようと思います．

前提知識

UFDについてある程度知っている（既約元，素元の定義，PIDがUFDであることの証明を呼んだことがある程度）ことを仮定します．UFD上の多項式環がUFDであることの証明を知っていれば，この記事で証明しなかった事実はすべて知っているはずです．また環 $A$ の素イデアル全体の集合を $Spec A$ で表します．

クラシカルなEisensteinの既約判定法

「Eisensteinの既約判定法(Eisenstein's criterion)」と呼ばれる主張で，最も有名なものは次の形であると思います；

$f (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$
を整数係数の多項式とする．ある素数 $p$ が存在して，以下の条件を満たすとき， $f$ は $Q [X]$ で既約である．

$a_{n}$ は $p$ で割り切れない．
$a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ は $p$ で割り切れる．
$a_{0}^{2}$ は $p^{2}$ で割り切れない．

非常に有名な注意ですが，これは十分条件でしかないので「完全な」判定法ではありません．例えば $f = X^{2} + 3 X + 1$ は $Q [X]$ では既約ですが，定理の仮定を満たす $p$ はありません．

もっと大切な注意として， $f$ は $Z$ の商体 $Q$ を係数とする多項式環で既約であるということしか主張していないことに注意してください．このとき $f$ は $Z [X]$ で既約であるとは限りません．

$f = 2 X + 6 \in Z [X]$ とします． $p = 3$ とすれば定理1の仮定を満たしますが， $f$ は $Z [X]$ で既約ではありません．

念の為，環上の元が既約であることの定義を書いておきます；

既約元

$A$ を環とする． $a \in A$ が既約(irreducible)であるとは，任意の $b, c \in A$ について， $a = b c$ であるならば $b, c$ の少なくとも一方は単元（可逆）であることをいう．

余談ですが，これはイデアルの拡大と縮小でもとのイデアルが保存されないという現象の１つの側面と見ることもできます． $(2 X + 6) Z [X]$ という $Z [X]$ のイデアルを自然な単射 $Z [X] \to Q [X]$ で拡大すると $(X + 3) Q [X] \in Spec Q [X]$ になりますが，これを $Z [X]$ に引き戻すと $(X + 3) Q [X] \cap Z [X] ⊊ (2 X + 6) Z [X]$ です．

にもかかわらず，Eisensteinの既約判定法の主張に「 $f$ は $Z$ 上既約である」と述べる文献が存在していたりします．このとき「 $Z$ 上既約」の定義を「 $f$ は２つの非定数（整数係数）多項式の積で書けない」としてあるのであれば論理的に問題はありません（個人的には，誤解を生みかねない定義なので使用することは推奨しません）．本記事では「既約」といったら必ず既約元のことを指すと約束します．

Eisensteinの既約判定法の一般化

上の注意で非定数多項式の積で書けない，ならば成り立つと主張しましたが，実はその事実は一般の整域でも成り立ちます．本記事では一般化したEisensteinの定理を証明しましょう．

一般化されたEisensteinの既約判定法

$A$ を整域とする．多項式；
$f (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0} \in A [X] (a_{n} \neq 0)$
に対して，ある $P \in Spec A$ が存在して，次の条件を満たすならば， $f$ は２つの非定数多項式の積で書けない．
(1) $a_{n} \notin P$
(2) $a_{n - 1}, \dots, a_{0} \in P$
(3) $a_{0} \notin P^{2}$

背理法

$a_{n} X^{n} + \dots + a_{0} = (b_{s} X^{s} + \dots + b_{0}) (c_{t} X^{t} + \dots + c_{0}) (b_{s}, c_{t} \neq 0, 1 \leq s, t)$
とかけていると仮定する． $A$ が整域なので $b + s = n$ である．さて $b_{0} c_{0} = a_{0} \in P$ かつ $a_{0} \notin P^{2}$ より $b_{0}$ か $c_{0}$ のどちらか一方のみが $P$ の元である．ここでは $b_{0} \in P$ であると仮定しよう．すると $a_{1} = b_{1} c_{0} + b_{0} c_{1}$ より $b_{1} c_{0} \in P$ で， $c_{0} \notin P$ なので $b_{1} \in P$ である．続けることで $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{s} \in P$ であることがわかる．しかし $a_{n} = b_{s} c_{t} \notin P$ であるので，これは矛盾である． $c_{0} \in P$ としても同様．

ここで「 $f$ は２つの非定数多項式の積で書けない」という結論は， $A$ が体ならば「 $f$ は既約」と同値です．これにより，体でない整域上でも「既約」という言葉を「２つの非定数多項式の積で書けない」という意味で用いる文献があるのですが，これは誤解の元なのでそれに倣うのはやめましょう．

$f$ にもう少し条件を課せば， $f$ が既約であることまで証明できます．

$A$ を整域とする． $f \in A [X]$ はEisensteinの既約判定法（定理2）の仮定を満たすとする．さらに $f$ の係数すべての共通約元はすべて単元であるならば $f$ は $A [X]$ で既約である．

$f = g h$ と書けているとすると，Eisensteinから $g \in A$ としてよいことがわかります．すると $g$ は $f$ の係数すべての約元だから単元です．

余談（多変数多項式の既約性判定）

多変数多項式環について， $A [X, Y, Z] = (A [X, Y]) [Z]$ であるので多変数についてもEisensteinの既約判定法が使えるのですが，注意が必要です．例えば $k$ を体として $Z^{2} - X Y \in k [X, Y, Z] = (k [X, Y]) [Z]$ を考えましょう． $P = (X) \in Spec k [X, Y, Z]$ とすればEisensteinの既約性判定法が使えますが，それは「 $f = g h$ とかけるならば $g \in k [X, Y]$ としてよい」ということしか導かず，即座に既約であるかどうかはわからないことに注意が必要です．もっともこの場合は $k [X, Y]$ がUFDで， $1, - X Y$ の最大公約元は $1$ だから既約であることがわかります．

投稿日：2021年5月27日

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投稿者

RyoyaANDO

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可換環論専攻のD1です．松村，Hartshorne, Atiyah-Macdonald，Bruns-Herzogなどの有名所の教科書に書いてない話をまとめています． I am a doctoral student, studying Commutative Algebra. I am summarising a slightly different perspective on this site from the existing famous textbooks (in Japanese).

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