【東京工業大学2021年度前期入試数学第1問】調和数に似た収束する逆数和

今回から5回にわたって東工大の入試問題を取り上げます．最初の問題は調和数に似ていますが，調和数が発散する一方，この和は有界です．

問題

解答解説

どちらも簡単です．迷う余地がないと思います．

(1) の解答

最上位桁は $1$ ～ $8$ までの任意の数字が使え，それ以外の桁は $0$ ～ $8$ までの任意の数字が使えるので，${10}^{k-1}$ 以上かつ ${10}^k$ 未満の正の整数，すなわち，$k$ 桁の正の整数で条件(＊)を満たすものは $a_k=8\times 9^{k-1}$ 個存在します．

(2) の解答

任意の正の整数 $i$ に対して， ${10}^{i-1}\leqq n<{10}^i$ であるならば ${\displaystyle \frac{1}{n}\leqq {10}^{-i+1}}$ であることに注意すると，
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{{10}^k-1}{b}_n& =\sum _{i=1}^k\sum _{n={10}^{i-1}}^{{10}^i-1}{b}_n\leqq \sum _{i=1}^k{a}_i\times {10}^{-i+1}=8\times \sum _{i=1}^k{\left({\displaystyle \frac{9}{10}}\right)}^{i-1}\\ & =8\times \frac{{\displaystyle 1-{\left(\frac{9}{10}\right)}^k}}{{\displaystyle 1-\frac{9}{10}}}<80\end{array}$$
となり不等式が証明されました．ここで，${\displaystyle {\left(\frac{9}{10}\right)}^k>0}$ であることに注意してください．

感想

正直ガッカリです．その一言につきます．

出身大学ということもあり，どうしても厳しめに評価してしまうかもしれませんが，それを差し引いても東工大でこの問題はないでしょう．バカにしすぎです．

この問題は (1) なしでも成立すると思います．(1) がないとかなりハードルが上がりますが，受験生の $2$割くらいは解けると思います．逆に，$1$割も解けないとしたら，それはそれでガッカリです．というか，日本は大丈夫なのか深刻になります．

さて，この問題を見て調和数(harmonic number)を思い浮かべた方も多いかと思います．$n$番目の調和数 $H_n$ は
$$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$$
として定義され，$H_n\fallingdotseq \ln n$ と近似されます．ここで，$\ln$ は自然対数です．実際，$\ln n\leqq H_n\leqq \ln n+1$ が証明できます．教科書レベルの問題ですので，解いてみてください．

ということで，$H_n$ は $n\to \mathrm{\infty }$ とすると発散するのですが，問題は $9$ を含まない整数のみ逆数をとり，それ以外を $0$ として $n$ 部分和を取ると，任意の $n$ に対して有界である(ので無限和は収束する)ことを示しています．

そのあたりの事実は面白いかもしれないし，その証明も易しい．その意味で数学的に綺麗ですが，入試としては易しすぎました．