【東京工業大学2021年度前期入試数学第1問】調和数に似た収束する逆数和

今回から5回にわたって東工大の入試問題を取り上げます．最初の問題は調和数に似ていますが，調和数が発散する一方，この和は有界です．

問題

解答解説

どちらも簡単です．迷う余地がないと思います．

(1) の解答

最上位桁は $1$ ～ $8$ までの任意の数字が使え，それ以外の桁は $0$ ～ $8$ までの任意の数字が使えるので，$10^{k-1}$ 以上かつ $10^{k}$ 未満の正の整数，すなわち，$k$ 桁の正の整数で条件(＊)を満たすものは $a_k = 8 \times 9^{k-1}$ 個存在します．

(2) の解答

任意の正の整数 $i$ に対して， $10^{i-1} \leqq n < 10^{i}$ であるならば $\displaystyle\frac{1}{n}\leqq 10^{-i+1}$ であることに注意すると，
\begin{align} \sum_{n=1}^{10^{k}-1} b_n &= \sum_{i=1}^{k} \sum_{n=10^{i-1}}^{10^{i}-1} b_n \leqq \sum_{i=1}^{k} a_i\times 10^{-i+1} = 8 \times \sum_{i=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^{i-1}\\ &= 8\times\frac{\displaystyle 1 -\left(\frac{9}{10}\right)^{k}}{\displaystyle 1-\frac{9}{10}} < 80 \end{align}
となり不等式が証明されました．ここで，$\displaystyle\left(\frac{9}{10}\right)^{k} > 0$ であることに注意してください．

感想

正直ガッカリです．その一言につきます．

出身大学ということもあり，どうしても厳しめに評価してしまうかもしれませんが，それを差し引いても東工大でこの問題はないでしょう．バカにしすぎです．

この問題は (1) なしでも成立すると思います．(1) がないとかなりハードルが上がりますが，受験生の $2$割くらいは解けると思います．逆に，$1$割も解けないとしたら，それはそれでガッカリです．というか，日本は大丈夫なのか深刻になります．

さて，この問題を見て調和数(harmonic number)を思い浮かべた方も多いかと思います．$n$番目の調和数 $H_n$ は
\begin{equation} 　　　H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \end{equation}
として定義され，$H_n \fallingdotseq \ln n$ と近似されます．ここで，$\ln$ は自然対数です．実際，$\ln n \leqq H_n \leqq \ln n + 1$ が証明できます．教科書レベルの問題ですので，解いてみてください．

ということで，$H_n$ は $n \to\infty$ とすると発散するのですが，問題は $9$ を含まない整数のみ逆数をとり，それ以外を $0$ として $n$ 部分和を取ると，任意の $n$ に対して有界である(ので無限和は収束する)ことを示しています．

そのあたりの事実は面白いかもしれないし，その証明も易しい．その意味で数学的に綺麗ですが，入試としては易しすぎました．