【東京工業大学2021年度前期入試数学第1問】調和数に似た収束する逆数和
今回から5回にわたって東工大の入試問題を取り上げます．最初の問題は調和数に似ていますが，調和数が発散する一方，この和は有界です．
問題
正の整数に関する条件
(＊) $10$進法で表したときに，どの位にも数字$9$が現れない}
を考える．以下の問に答えよ．
$k$ を正の整数とするとき，$10^{k-1}$ 以上かつ $10^{k}$ 未満であって条件(＊)を満たす正の整数の個数を $a_k$ とする．このとき，$a_k$ を $k$ の式で表せ．
正の整数 $n$ に対して，
\begin{equation} b_n = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{n}&(n\mbox{ が条件(＊)を満たすとき})\\ 0 &(n\mbox{ が条件(＊)を満たさないとき}) \end{cases} \end{equation}
とおく．このとき，すべての正の整数 $k$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ．
\begin{equation} \sum_{n=1}^{10^{k}-1} b_{n} < 80 \end{equation}
解答解説
どちらも簡単です．迷う余地がないと思います．
(1) の解答
最上位桁は $1$ ～ $8$ までの任意の数字が使え，それ以外の桁は $0$ ～ $8$ までの任意の数字が使えるので，$10^{k-1}$ 以上かつ $10^{k}$ 未満の正の整数，すなわち，$k$ 桁の正の整数で条件(＊)を満たすものは $a_k = 8 \times 9^{k-1}$ 個存在します．
(2) の解答
任意の正の整数 $i$ に対して， $10^{i-1} \leqq n < 10^{i}$ であるならば $\displaystyle\frac{1}{n}\leqq 10^{-i+1}$ であることに注意すると，
\begin{align}
\sum_{n=1}^{10^{k}-1} b_n
&= \sum_{i=1}^{k} \sum_{n=10^{i-1}}^{10^{i}-1} b_n
\leqq \sum_{i=1}^{k} a_i\times 10^{-i+1}
= 8 \times \sum_{i=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^{i-1}\\
&= 8\times\frac{\displaystyle 1 -\left(\frac{9}{10}\right)^{k}}{\displaystyle 1-\frac{9}{10}}
< 80
\end{align}
となり不等式が証明されました．ここで，$\displaystyle\left(\frac{9}{10}\right)^{k} > 0$ であることに注意してください．
感想
正直ガッカリです．その一言につきます．
出身大学ということもあり，どうしても厳しめに評価してしまうかもしれませんが，それを差し引いても東工大でこの問題はないでしょう．バカにしすぎです．
この問題は (1) なしでも成立すると思います．(1) がないとかなりハードルが上がりますが，受験生の $2$割くらいは解けると思います．逆に，$1$割も解けないとしたら，それはそれでガッカリです．というか，日本は大丈夫なのか深刻になります．
さて，この問題を見て調和数(harmonic number)を思い浮かべた方も多いかと思います．$n$番目の調和数 $H_n$ は
\begin{equation}
H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}
\end{equation}
として定義され，$H_n \fallingdotseq \ln n$ と近似されます．ここで，$\ln$ は自然対数です．実際，$\ln n \leqq H_n \leqq \ln n + 1$ が証明できます．教科書レベルの問題ですので，解いてみてください．
ということで，$H_n$ は $n \to\infty$ とすると発散するのですが，問題は $9$ を含まない整数のみ逆数をとり，それ以外を $0$ として $n$ 部分和を取ると，任意の $n$ に対して有界である(ので無限和は収束する)ことを示しています．
そのあたりの事実は面白いかもしれないし，その証明も易しい．その意味で数学的に綺麗ですが，入試としては易しすぎました．