Gregory coefficients のお話

まず, 自然数$n$に対し, $G_n$を以下のように定めます.

$$G_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^{1}x(x-1)\cdots (x-n+1)dx={\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})dx$$

ただし${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})=\frac{x(x-1)\cdots (x-n+1)}{n!}}$は一般化された二項係数です. これは$x$の多項式になります.
$$

まず, この$G_n$の母関数を求めてみましょう. これは簡単で, $(1+z{)}^x$の$z$に関するTaylor展開が一般化された二項係数を用いて
$$(1+z{)}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})z^n$$
と表されることを用いれば, 両辺を$x:0\to 1$で積分して
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{G}_n{z}^n& =& {\int }_0^1(1+z{)}^{x}dx\\ & =& \frac{z}{\log (1+z)}\end{array}$$
と分かります.
$$

これを利用すると, $N\ge 2$に対し${\displaystyle z=\log (1+z)\sum G_n{z}^n}$ の両辺の$z^N$の係数を比較することで,
$$\begin{array}{rcl}0& =& [z^N](\log (1+z)\sum G_n{z}^n)\\ & =& \sum _{k=0}^N([z^{N-k}]\log (1+z))([z^k]\sum G_n{z}^n)\\ & =& \sum _{k=0}^{N-1}\frac{(-1{)}^{N-k-1}}{N-k}{G}_k\end{array}$$
即ち${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k{G}_k}{n-k}=0}$ ($n\ge 2$)を得ます.

これは
$${\int }_0^1\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k}{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})dx=0$$
と書くと少し面白いですね.
$$

ここで唐突に, 以下のような積分路に沿って関数${\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z-\alpha )\log z}}$を積分することを考えてみましょう. ただし$\alpha \notin {\mathbb{R}}_{\le 0}\cup \{1\}$とし, 対数の偏角は$-\pi <\arg z<\pi$をとるものとします.

積分路

すると, $R\to \mathrm{\infty }$で円弧上の積分は$0$になり, 原点周りの積分も$0$になりますから,
$$\begin{array}{rcl}2\pi i\sum \mathrm{Res}f& =& {\int }_{-\mathrm{\infty }+0i}^{+0i}f(z)dz+{\int }_{-0i}^{-\mathrm{\infty }-0i}f(z)dz\\ & =& {\int }_{\mathrm{\infty }}^{0}f(e^{i\pi }x)e^{i\pi }dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(e^{-i\pi }x)e^{-i\pi }dx\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+\alpha )(\log x+i\pi )}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+\alpha )(\log x-i\pi )}\\ & =& 2\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+\alpha )({\log }^{2}x+{\pi }^2)}\end{array}$$

極は$z=1,\alpha$であり,${\displaystyle {\mathrm{Res}}_{z=1}f=\frac{1}{1-\alpha },{\mathrm{Res}}_{z=\alpha }f=\frac{1}{\log \alpha }}$なので,

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+\alpha )({\log }^{2}x+{\pi }^2)}=\frac{1}{\log \alpha }+\frac{1}{1-\alpha }$$
が結論されます.
$$

ここで$\alpha =1+z$とするとなんと,
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+1+z)({\log }^{2}x+{\pi }^2)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n{z}^{n-1}$$
となるではないですか！

両辺を$(n-1)$階微分して$z=0$とすることで,
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+1{)}^n({\log }^{2}x+{\pi }^2)}=(-1{)}^{n-1}{G}_n$$
を得ます.

これは
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x+1{)}^n({\log }^{2}x+{\pi }^2)}={\int }_0^1\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})\right|dx$$
と書くと面白いですね.
$$

最後になりますが, 実はこの係数$G_n$はGregory coefficientsと呼ばれるものなのでした. ( Wikipedia 参照)

読んでくださった方, ありがとうございました.