まず, 自然数に対し, を以下のように定めます.
ただしは一般化された二項係数です. これはの多項式になります.
まず, このの母関数を求めてみましょう. これは簡単で, のに関するTaylor展開が一般化された二項係数を用いて
と表されることを用いれば, 両辺をで積分して
と分かります.
これを利用すると, に対し の両辺のの係数を比較することで,
即ち ()を得ます.
これは
と書くと少し面白いですね.
ここで唐突に, 以下のような積分路に沿って関数を積分することを考えてみましょう. ただしとし, 対数の偏角はをとるものとします.
積分路
すると, で円弧上の積分はになり, 原点周りの積分もになりますから,
極はであり,なので,
が結論されます.
ここでとするとなんと,
となるではないですか!
両辺を階微分してとすることで,
を得ます.
これは
と書くと面白いですね.
最後になりますが, 実はこの係数はGregory coefficientsと呼ばれるものなのでした. (
Wikipedia
参照)
読んでくださった方, ありがとうございました.