【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第3問】入試らしい微積分の問題

196

問題

座標平面上の点 $(x, y)$ について，次の条件を考える．
条件: すべての実数 $t$ に対して $y \leq e^{t} - x t$ が成立する．　 $\dots \dots \dots (*)$
以下の問いに答えよ．必要ならば $lim_{x \to + 0} x \log x = 0$ を使ってよい．

条件 $(*)$ をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を座標平面上に図示せよ．
条件 $(*)$ をみたす点 $(x, y)$ のうち， $x ≧ 1$ かつ $y ≧ 0$ をみたすもの全体の集合を $S$ とする． $S$ を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

解答解説

(1) の解答

$f (t) = e^{t} - x t - y$ とおくと，任意の実数 $t$ に対して $f (t) ≧ 0$ であるような $x, y$ の条件を求めればよい． $f^{'} (t) = e^{t} - x$ であるので，次のようになる．

$x < 0$ のとき， $lim_{t \to - \infty} f (t) = - \infty$ であるので，条件を満たさない．

$x = 0$ のとき， $f^{'} (t) ≧ 0$ であるので， $f (t)$ は単調増加であり， $lim_{t \to - \infty} f (t) = - y$ であるので， $- y ≧ 0$ すなわち $y ≦ 0$ であればよい．

$x > 0$ のとき， $f^{'} (t) = 0$ とおくと $t = \log x$ であるので，次のような増減表ができる．

$t$		$\log x$
$f^{'} (t)$	$-$	$0$	$+$
$f (t)$	$↘$	$x - x \log x - y$ (最小)	$↗$

よって， $x - x \log x - y ≧ 0$ すなわち， $y ≦ x - x \log x$ であればよい． $g (x) = x - x \log x$ とおくと， $g^{'} (x) = 1 - \log x - 1 = - \log x$ であるので，増減表を書くと次のようになる．

$x$	$+ 0$		$1$		$+ \infty$
$g^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$g (x)$	$0$	$↗$	$1$ (最大)	$↘$	$- \infty$

ここで，
$\begin{aligned} lim_{x \to + 0} g (x) & = lim_{x \to + 0} (x - x \log x) = 0 - 0 = 0 \\ lim_{x \to + \infty} g (x) & = lim_{x \to + \infty} x (1 - \log x) = - \infty \end{aligned}$
である．よって，求める領域は次の通りである．

紫色の曲線の下(曲線を含む)
$y$ 軸上の $y ≦ 0$ も含む

求める領域

(2) の解答

$g (x) = 0$ ( $x > 0$ ) とおく．このとき， $1 - \log x = 0$ すなわち $x = e$ である．よって，求める体積 $V$ は
$\begin{aligned} V & = π \int_{1}^{e} {g (x)}^{2} d x = π \int_{1}^{e} x^{2} (1 - \log x)^{2} d x \\ = π ({[\frac{1}{3} x^{3} (1 - \log x)^{2}]}_{1}^{e} + \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} (1 - \log x) d x) \\ = - \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} ({[\frac{1}{3} x^{3} (1 - \log x)]}_{1}^{e} + \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x) \\ = - \frac{π}{3} - \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{9} {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{e} \\ = - \frac{5 π}{9} + \frac{2 π}{27} (e^{3} - 1) \\ = \frac{(2 e^{3} - 17) π}{27} \end{aligned}$
となります．