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【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第3問】入試らしい微積分の問題

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問題

座標平面上の点 $(x,y)$ について,次の条件を考える.
条件: すべての実数 $t$ に対して $y\le e^t-xt$ が成立する. $\cdots\cdots\cdots (*)$
以下の問いに答えよ.必要ならば $\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0$ を使ってよい.

  1. 条件 $(*)$ をみたす点 $(x,y)$ 全体の集合を座標平面上に図示せよ.

  2. 条件 $(*)$ をみたす点 $(x,y)$ のうち,$x\geqq 1$ かつ $y\geqq 0$ をみたすもの全体の集合を $S$ とする.$S$$x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ.

解答解説

(1) の解答

$f(t)=e^t-xt-y$ とおくと,任意の実数 $t$ に対して $f(t)\geqq 0$ であるような $x,y$ の条件を求めればよい.$f'(t)=e^t-x$ であるので,次のようになる.

$x<0$ のとき,$\displaystyle\lim_{t\to-\infty}f(t)=-\infty$ であるので,条件を満たさない.

$x=0$ のとき,$f'(t)\geqq 0$ であるので,$f(t)$ は単調増加であり,$\lim_{t\to-\infty}f(t)=-y$ であるので,$-y\geqq 0$ すなわち $y\leqq 0$ であればよい.

$x>0$ のとき,$f'(t)=0$ とおくと $t=\log x$ であるので,次のような増減表ができる.

$t$$\log x$
$f'(t)$$-$$0$$+$
$f(t)$$\searrow$$x-x\log x -y$ (最小)$\nearrow$

よって,$x-x\log x-y\geqq 0$ すなわち,$y\leqq x - x\log x$ であればよい.$g(x)=x-x\log x$ とおくと,$g'(x)=1-\log x-1=-\log x$ であるので,増減表を書くと次のようになる.

$x$$+0$$1$$+\infty$
$g'(x)$$+$$0$$-$
$g(x)$$0$$\nearrow$$1$ (最大)$\searrow$$-\infty$

ここで,
\begin{align} \lim_{x\to +0}g(x)&=\lim_{x\to +0}(x-x\log x)=0-0=0\\ \lim_{x\to +\infty}g(x)&=\lim_{x\to +\infty} x(1-\log x)=-\infty \end{align}
である.よって,求める領域は次の通りである.

  • 紫色の曲線の下(曲線を含む)
  • $y$軸上の$y\leqq 0$ も含む

求める領域 求める領域

(2) の解答

$g(x)=0$ ($x>0$) とおく.このとき,$1-\log x=0$ すなわち $x=e$ である.よって,求める体積 $V$
\begin{align} V&=\pi\int_{1}^{e}\{g(x)\}^2dx =\pi\int_{1}^{e}x^2(1-\log x)^2 dx\\ &=\pi\left(\left[\frac{1}{3}x^3(1-\log x)^2\right]_{1}^{e}+\frac{2}{3}\int_{1}^{e}x^2(1-\log x)dx\right)\\ &=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\left(\left[\frac{1}{3}x^3(1-\log x)\right]_{1}^{e}+\frac{1}{3}\int_{1}^{e}x^2dx\right)\\ &=-\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{9}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{e}\\ &=-\frac{5\pi}{9}+\frac{2\pi}{27}(e^3-1)\\ &=\frac{(2e^3-17)\pi}{27} \end{align}
となります.

感想

この問題も特に難しいところのない問題です.(2) の計算をどれだけスムーズに行うかが勝負です.

投稿日:202163

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投稿者

名前はトムヤムクン(TomYumGoong)と読みます.仕事で数学を使う電子・情報系人間.塾講師とは違った立場で気楽に,主に中学入試の算数と大学入試の数学の問題を眺めていこうと思っています.

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