積分解説6 ∫[0,π/2]log(x^2+log^2cosx)dx

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この記事では, 以下の美しい積分の証明をしようと思います. 実は積分botさんにあった積分なのですが, 現在積分botさんが不調のようですので, このような形での紹介となります. 証明はオリジナルです.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (x^{2} + \log^{2} \cos x) d x = π \log \log 2

(証明)

以下, $a (1 + e^{2 i x}) = 2 a e^{i x} \cos x$ 即ち
$\log (a (1 + e^{2 i x})) = i x + \log (2 a \cos x) (| x | < \frac{π}{2})$
に注意します. さらに, $\log z = \log | z | + i \arg z$ ですから,
$\log (x^{2} + \log^{2} (2 a \cos x)) = 2 Re \log \log (a (1 + e^{2 i x}))$
であることを利用していきます.

関数 $f (z) = \frac{\log \log z}{z - a}$ を積分することを考えます. 円弧 $z = a (1 + e^{2 i x})$ に沿って積分すれば求める形を作ることができます.

ただし, $\log$ の偏角を $| \arg z | < π$ となるようにとります. 従って, $f (z)$ は実軸上の区間 $(- \infty, 1]$ を除いた領域で正則となります.

また, 区間 $(0, 1)$ の近くでの $\log \log z$ の値について, $0 < x < 1$ に対して
$\log \log (x \pm 0 i) = \log (\log \frac{1}{x} \pm 0 i) = \log \log \frac{1}{x} \pm i π$
となることに注意します. ( $x + 0 i$ は実軸より無限小だけ上であることを表します.)

$1 < a$ のとき

以下のような積分路をとります.

積分路1

まず円弧上では, $z = a (1 + e^{2 i x}) (x : - \frac{π}{2} \to \frac{π}{2})$ と置換すれば,
$\begin{array}{rcl} \int_{C} f (z) d z & = & \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\log \log (a (1 + e^{2 i x}))}{a e^{2 i x}} 2 i a e^{2 i x} d x \\ = & 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (x^{2} + \log^{2} (2 a \cos x)) d x \end{array}$
となります. (虚部は明らかに奇関数であることを用いました.)

次に区間 $(0, 1)$ の上下の積分は,
$\begin{array}{rcl} (\int_{+ 0 i}^{1 + 0 i} + \int_{1 - 0 i}^{- 0 i}) f (z) d z \\ = & \int_{0}^{1} \frac{\log \log \frac{1}{x} + i π}{x - a} d x + \int_{1}^{0} \frac{\log \log \frac{1}{x} - i π}{x - a} d x \\ = & 2 π i \int_{0}^{1} \frac{d x}{x - a} \\ = & 2 π i \log (1 - \frac{1}{a}) \end{array}$
となります.

最後に, $z = a$ での留数は ${Res}_{z = a} f (z) = \log \log a$ です.

以上より,
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (x^{2} + \log^{2} (2 a \cos x)) d x & = & π \log \log a - π \log (1 - \frac{1}{a}) \\ = & π \log \frac{\log a}{1 - \frac{1}{a}} \end{array}$
を得ます.

$\frac{1}{2} < a < 1$ のとき

以下のような積分路をとります.

積分路2

円弧上の積分は[1]と全く同様です.

今回は, 積分路上に極 $a$ が来ているので, 半径 $ε$ の円に沿って積分し, $ε \to 0$ とします. (つまり, 区間 $(0, 1)$ 上の主値積分をとっていることになります)

点 $a$ まわりの積分は, $\frac{\log \log \frac{1}{z}}{z - a}$ の分に関しては通常の留数と同じように考えられるので, $- 2 π i \log \log \frac{1}{a}$ となります. $\frac{\pm i π}{z - a}$ の分に関しては, 今度は上側と下側で符号が変わるので, 打ち消しあって $0$ になります.

最後に区間 $(0, 1)$ の上下での主値積分は( $\log \log x$ が打ち消されることはもう分かるでしょう),

$\begin{array}{rcl} 2 π i p . v . \int_{0}^{1} \frac{d x}{x - a} \\ = & 2 π i lim_{ε \to + 0} (\int_{0}^{a - ε} + \int_{a + ε}^{1}) \frac{d x}{x - a} \\ = & 2 π i \log (\frac{1}{a} - 1) \end{array}$

以上より,
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (x^{2} + \log^{2} (2 a \cos x)) d x = π \log \frac{\log \frac{1}{a}}{\frac{1}{a} - 1}$
を得ます.

$0 < a < \frac{1}{2}$ のとき

以下のような積分路をとります.

積分路3

円弧上の積分と点 $a$ まわりの積分は上と全く同様です. 区間 $(0, 2 a)$ での主値積分は,

$p . v . \int_{0}^{2 a} \frac{d x}{x - a} = 0$
ですので,
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (x^{2} + \log^{2} (2 a \cos x)) d x = π \log \log \frac{1}{a}$
を得ます.