【微分幾何メモ】Lagrange未定乗数法の多様体論的な見方

多様体論としてのLagrange未定乗数法のお話です。最近復習がてら考えたのでその覚書です。

$n$次元微分多様体$M$と$r$個の滑らかな関数$g_1,\cdots ,g_r\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$を考えます。
さらに$a_1,\cdots ,a_r\in \mathbb{R}$達ががそれぞれ$g_1,\cdots ,g_r$達の正則値であるとすると、
$$\begin{array}{r}N:=\{p\in M;g_i(p)=a_i,(1\le i\le r)\}\end{array}$$
は$n-r$次元（正規）部分多様体です。スカラー関数$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$の$N$に制限した臨界点、すなわち$df(T_{p}N)=0$を満たす点$p\in N$を求めることを考えましょう。

点$p\in N$が$df(T_{p}N)=0$を満たすとすると、ある${\lambda }_i,(1\le i\le r)$があり、
$$\begin{array}{r}df{|}_p=\sum _{i=1}^r{\lambda }_{i}d{g}_i{|}_p\end{array}$$
が成り立ちます。逆にある点$p\in N$においてこの式が成り立てば、$df(T_{p}N)=0$となります。従って
$$\begin{array}{r}d(f+\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{g}_i)=0,\\ g_i=a_i,(1\le i\le r)\end{array}$$
を満たす$p\in M$を求めればよいことになります。これはLagrangeの未定乗数法そのものです。

さらに幾何学的解釈の役割を入れ替えることもできます。${\lambda }_i$の中には０でないものが少なくとも一つはあるので、それを${\lambda }_1$とします。すると点$p\in M$において、
$$\begin{array}{r}d{g}_1=-df-{\mu }_{2}d{g}_2-\cdots -{\mu }_{r}d{g}_r,{\mu }_i={\lambda }_i/{\lambda }_1\end{array}$$
が成り立ちます。これは、点$p\in M$が$f,g_i(2\le i\le r)$が一定となる部分多様体上での$g_1$の臨界点であることを意味します。

写像の臨界点として理解することもできます。$\phi :M\to {\mathbb{R}}^{r+1}$を
$$\begin{array}{r}M\ni x\mapsto \phi (p)=(f(x),g_1(x),\cdots ,g_r(x))\in {\mathbb{R}}^{r+1}\end{array}$$
と定義します。$p\in M$において、$df,d{g}_i$達が一次従属となるならば、$d\phi {|}_p$は退化して、$p$は写像$\phi$の臨界点となることが分かります。