文献あり

絶対三線座標系における2点間の距離公式

Wikipediaによれば、辺 $BC, CA, AB$ からの距離がそれぞれ $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ と $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ であるような2点間の距離 $d$ は、次のように表される。

絶対三線座標系における2点間の距離公式

$\begin{aligned} d^{2} \sin^{2} C & = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} + 2 (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) \cos C \\ d^{2} & = - \frac{a b c}{4 S^{2}} [a (b_{1} - b_{2}) (c_{1} - c_{2}) + b (c_{1} - c_{2}) (a_{1} - a_{2}) + c (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2})] \end{aligned}$

しかし証明が全く記されていない。あまりにも不便なのでWikiに引かれていた文献を解読したメモとしてこの記事を残す。

点 $P (a_{1}, b_{1}, c_{1}), Q (a_{2}, b_{2}, c_{2})$ とする。 $PQ$ を直径とする円を描く。 $Q$ を通り、辺 $BC, C A$ と平行な直線を引き、この円との交点を $A^{'}, B^{'}$ とする。

このとき、 ${A^{'} B^{'}}^{2} = {PA}^{'}^{2} + {PB}^{'}^{2} - 2 {PA}^{'} \cdot {PB}^{'} \cos ∠ A^{'} {PB}^{'}$ である。
${PA}^{'} = | a_{1} - a_{2} |$ , ${PB}^{'} = | b_{1} - b_{2} |$ であって、 $(a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) > 0$ のとき、 $∠ A^{'} {PB}^{'} = π - C$ でありまた、 $(a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) < 0$ のとき $∠ A^{'} {PB}^{'} = C$ となるから、いずれの場合でも
${PA}^{'} \cdot {PB}^{'} \cos ∠ A^{'} {PB}^{'} = - (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) \cos C$
となる。 $α = a_{1} - a_{2}$ , $β = b_{1} - b_{2}$ とおくと、
${A^{'} B^{'}}^{2} = α^{2} + β^{2} + 2 α β \cos C$
が従う。一方、 $\frac{A^{'} B^{'}}{\sin ∠ {AQB}^{'}} = PQ$ であって、 $P, Q$ の位置によっては $∠ A^{'} {QB}^{'} = C, π - C$ のいずれかなので、 $A^{'} B^{'} = PQ \sin C$ となる。
これらのことから、第一の公式が得られた。

さて、 $a a_{1} + b b_{1} + c c_{1} = a a_{2} + b b_{2} + c c_{2} = 2 S$ なので、
$a α + b β + c γ = 0$
である。なお、 $c_{1} - c_{2} = γ$ とした。第一の公式の両辺に $a^{2} b^{2}$ を乗じて、
$\begin{aligned} d^{2} a^{2} b^{2} \sin^{2} C & = a^{2} b^{2} α^{2} + a^{2} b^{2} β^{2} + a b α β \cdot 2 a b \cos C \\ \Leftrightarrow d^{2} & = \frac{a b c}{4 S^{2}} (\frac{a b}{c} α^{2} + \frac{a b}{c} β^{2} + \frac{α β}{c} (a^{2} + b^{2} - c^{2})) \\ = \frac{a b c}{4 S^{2}} (\frac{1}{c} [a b α^{2} + a b β^{2} + (a^{2} + b^{2}) α β] - c α β) \\ = \frac{a b c}{4 S^{2}} (\frac{1}{c} (a β + b α) (a α + b β) - c α β) \\ = \frac{a b c}{4 S^{2}} (\frac{1}{c} (a β + b α) (- c γ) - c α β) \\ = - \frac{a b c}{4 S^{2}} (a β γ + b γ α + c α β) \end{aligned}$
となって、第二の公式が得られた。