【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】新概念をその場で検討する問題

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今回は整式に関する問題ですが，初めての概念にどう対応するかを問われる問題です．といっても，それほど難しい問題ではありません．

問題

自然数 $n$ と実数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ( $a_{n} \neq 0$ ) に対して， $2$ つの整式
$\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ f^{'} (x) & = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k} x^{k - 1} = n a_{n} x^{n - 1} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + a_{1} \end{aligned}$
を考える． $α$ , $β$ を異なる複素数とする．複素平面上の $2$ 点 $α$ , $β$ を結ぶ線分上にある点 $γ$ で，
$\frac{f (β) - f (α)}{β - α} = f^{'} (γ)$
をみたすものが存在するとき，
　　　　　 $α$ , $β$ , $f (x)$ は平均値の性質を持つ
ということにする．以下の問いに答えよ．ただし， $i$ は虚数単位とする．

$n = 2$ のとき，どのような $α$ , $β$ , $f (x)$ も平均値の性質をもつことを示せ．
$α = 1 - i$ , $β = 1 + i$ , $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が平均値の性質を持つための，実数 $a$ , $b$ , $c$ に関する必要十分条件を求めよ．
$α = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$ , $β = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ , $f (x) = x^{7}$ は，平均値の性質をもたないことを示せ．

解答解説

(1) の解答

$A$ , $B$ , $C$ を任意の実数( $A \neq 0$ ) とし， $a_{2} = A$ , $A_{1} = B$ , $a_{0} = C$ とする．このとき， $f (x) = A x^{2} + B x + C$ , $f^{'} (x) = 2 A x + B$ であり，
$\frac{f (β) - f (α)}{β - α} = \frac{A (β^{2} - α^{2}) + B (β - α)}{β - α} = A (β + α) + B$
かつ $f^{'} (γ) = 2 A γ + B$ であるので，
$\frac{f (β) - f (α)}{β - α} = f^{'} (γ) \Leftrightarrow γ = \frac{α + β}{2}$
である． $γ = \frac{α + β}{2}$ は点 $α$ と $β$ の中点であるので，どのような $α$ , $β$ , $f (x)$ も平均値の性質をもつ．

(2) の解答

$\begin{array}{r} \frac{f (β) - f (α)}{β - α} = \frac{(β^{3} - α^{3}) + a (β^{2} - α^{2}) + b (β - α)}{β - α} = (β^{2} + β α + α^{2}) + a (β + α) + b \end{array}$
であり， $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ であるので， $α$ , $β$ , $f (x)$ が平均値の性質をもつための条件は
$\frac{f (β) - f (α)}{β - α} = (β^{2} + β α + α^{2}) + a (β + α) + b = g^{'} (γ) = 3 γ^{2} + 2 a γ + b$
をみたす $γ$ が $2$ 点 $α$ と $β$ を結ぶ線分上に存在することである．ここに， $α = 1 - i$ , $β = 1 + i$ を代入すると，
$(β^{2} + β α + α^{2}) + a (β + α) + b = (α + β)^{2} - α β + a (α + β) + b = 2^{2} - 2 + 2 a + b = 2 a + b + 2$
より
$3 γ^{2} + 2 a γ + b = 2 a + b + 2 すなわち 3 γ^{2} + 2 a γ - 2 (a + 1) = 0 \dots \dots \dots ①$
である．

① は $γ$ の $2$ 次方程式で，実数係数であるので， $α$ , $β$ , $f (x)$ が平均値の性質をもつための条件は，① の解 $γ$ が $2$ 点 $α$ と $β$ を結ぶ線分上に存在することである．

$γ$ が実数であるとき， $γ = 1$ であるが，これを ① に代入すると $3 + 2 a - 2 (a + 1) = 1 \neq 0$ であるので不適．

$γ$ が虚数であるとき，① は $γ = 1 \pm d i$ $(0 ≦ d ≦ 1$ ) を解にもつ．解と係数の関係より
$\begin{aligned} - \frac{2 a}{3} & = (1 + d i) + (1 - d i) = 2, \\ - \frac{2 (a + 1)}{3} & = (1 + d i) (1 - d i) = 1 + d^{2} \end{aligned}$
が成り立つので， $a = - 3$ であり，このとき， $d^{2} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ であるので， $d = \frac{1}{\sqrt{3}} (≧ 0)$ である．この $d$ の値は $0 ≦ d ≦ 1$ を満たす．

よって， $a = - 3$ ( $b$ と $c$ は任意)である．

(3) の解答

$\begin{aligned} α & = \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = \cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}), \\ β & = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} = \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4} \end{aligned}$
であるので，
$\begin{aligned} f (α) & = α^{7} = \cos (- \frac{7 π}{4}) + i \sin (- \frac{7 π}{4}) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}, \\ f (β) & = β^{7} = \cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4} = \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \end{aligned}$
である． $β - α = \sqrt{2} i$ , $f (β) - f (α) = - \sqrt{2} i$ であるので，
$\frac{f (β) - f (α)}{β - α} = - 1$
となる． $f^{'} (x) = 7 x^{6}$ であるので， $α$ , $β$ , $f (x)$ が平均値を持つためには $x^{6} = - \frac{1}{7}$ となる $x$ で $2$ 点 $α$ と $β$ を結ぶ線分上の $x$ が存在すればよい．

$x^{6} = - \frac{1}{7}$ を解くと， $x = \frac{1}{\sqrt[6]{7}} {\cos (\frac{π}{6} + \frac{k π}{3}) + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{k π}{3})}$ ( $k = 0, 1, \dots, 5$ ) が得られるが，この中で実部が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となるものは存在しない．したがって，これらの解はいずれも $α$ と $β$ の線分上には存在しないので， $α$ , $β$ , $f (x)$ は平均値の性質を持たない．