【九州大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】新概念をその場で検討する問題

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今回は整式に関する問題ですが，初めての概念にどう対応するかを問われる問題です．といっても，それほど難しい問題ではありません．

問題

自然数 $n$ と実数 $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($a_n\ne 0$) に対して，$2$ つの整式
\begin{align} f(x)&=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\\ f'(x)&=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1 \end{align}
を考える．$\alpha$, $\beta$ を異なる複素数とする．複素平面上の $2$点 $\alpha$, $\beta$ を結ぶ線分上にある点 $\gamma$ で，
\begin{equation} 　　　\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma) \end{equation}
をみたすものが存在するとき，
　　　　　$\alpha$, $\beta$, $f(x)$ は平均値の性質を持つ
ということにする．以下の問いに答えよ．ただし，$i$ は虚数単位とする．

$n=2$ のとき，どのような $\alpha$, $\beta$, $f(x)$ も平均値の性質をもつことを示せ．
$\alpha=1-i$, $\beta=1+i$, $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が平均値の性質を持つための，実数 $a$, $b$, $c$ に関する必要十分条件を求めよ．
$\displaystyle\alpha=\frac{1-i}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle\beta=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$, $f(x)=x^7$ は，平均値の性質をもたないことを示せ．

解答解説

(1) の解答

$A$, $B$, $C$ を任意の実数($A\ne 0$) とし，$a_2=A$, $A_1=B$, $a_0=C$ とする．このとき，$f(x)=Ax^2+Bx+C$, $f'(x)=2Ax+B$ であり，
\begin{equation} 　　　\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} =\frac{A(\beta^2-\alpha^2)+B(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} =A(\beta+\alpha)+B \end{equation}
かつ $f'(\gamma)=2A\gamma+B$ であるので，
\begin{equation} 　　　\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma) \Leftrightarrow \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2} \end{equation}
である．$\gamma=\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ は点 $\alpha$ と $\beta$ の中点であるので，どのような $\alpha$, $\beta$, $f(x)$ も平均値の性質をもつ．

(2) の解答

\begin{align} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} =\frac{(\beta^3-\alpha^3)+a(\beta^2-\alpha^2)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} =(\beta^2+\beta\alpha+\alpha^2)+a(\beta+\alpha)+b \end{align}
であり，$g'(x)=3x^2+2ax+b$ であるので，$\alpha$, $\beta$, $f(x)$ が平均値の性質をもつための条件は
\begin{equation} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} =(\beta^2+\beta\alpha+\alpha^2)+a(\beta+\alpha)+b =g'(\gamma)=3\gamma^2+2a\gamma+b \end{equation}
をみたす $\gamma$ が $2$点 $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ線分上に存在することである．ここに，$\alpha=1-i$, $\beta=1+i$ を代入すると，
\begin{equation} (\beta^2+\beta\alpha+\alpha^2)+a(\beta+\alpha)+b =(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta+a(\alpha+\beta)+b =2^2-2+2a+b=2a+b+2 \end{equation}
より
\begin{equation} 3\gamma^2+2a\gamma + b=2a+b+2\ すなわち\ 3\gamma^2+2a\gamma-2(a+1)=0 \cdots\cdots\cdots ① \end{equation}
である．

① は$\gamma$ の $2$次方程式で，実数係数であるので，$\alpha$, $\beta$, $f(x)$ が平均値の性質をもつための条件は，① の解 $\gamma$ が$2$点 $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ線分上に存在することである．

$\gamma$ が実数であるとき，$\gamma=1$ であるが，これを ① に代入すると $3+2a-2(a+1)=1\ne 0$ であるので不適．

$\gamma$ が虚数であるとき，① は $\gamma=1\pm di$ $(0\leqq d\leqq 1$) を解にもつ．解と係数の関係より
\begin{align} -\frac{2a}{3}&=(1+di)+(1-di)=2,\\ -\frac{2(a+1)}{3}&=(1+di)(1-di)=1+d^2 \end{align}
が成り立つので，$a=-3$ であり，このとき，$d^2=\displaystyle\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$ であるので，$d=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} (\geqq 0)$ である．この $d$ の値は $0\leqq d\leqq 1$ を満たす．

よって，$a=-3$ ($b$ と $c$ は任意)である．

(3) の解答

\begin{align} \alpha&=\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right),\\ \beta&=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} \end{align}
であるので，
\begin{align} f(\alpha)&=\alpha^7=\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{1+i}{\sqrt{2}},\\ f(\beta)&=\beta^7=\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{align}
である．$\beta-\alpha=\sqrt{2}i$, $f(\beta)-f(\alpha)=-\sqrt{2}i$ であるので，
\begin{equation} 　　　\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=-1 \end{equation}
となる．$f'(x)=7x^6$ であるので，$\alpha$, $\beta$, $f(x)$ が平均値を持つためには $x^6=\displaystyle -\frac{1}{7}$ となる $x$ で $2$ 点 $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ線分上の $x$ が存在すればよい．

$x^6=\displaystyle -\frac{1}{7}$ を解くと，$x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[6]{7}}\left\{\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)\right\}$ ($k=0,1,\ldots,5$) が得られるが，この中で実部が $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ となるものは存在しない．したがって，これらの解はいずれも $\alpha$ と $\beta$ の線分上には存在しないので，$\alpha$, $\beta$, $f(x)$ は平均値の性質を持たない．