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積分サークルの100マス積分を解いてみた

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※この記事では$C$を積分定数とします。

※2つの$x$が別の場所から出てきたというお気持ちを表すために$x^2$$xx$と書いた箇所があります。

積分サークルの100マス積分の動画 を見てて思いました。

「これって実際やると何時間くらいかかるんだろう?」

というわけで、実際に解いてみます。

では、積分スタートです。現在の時刻は11時15分です。

※執筆途中にサーバーエラーが発生しましたが、メモ帳で解いたので回答時間はそのままとします。

10000マス積分と同じように、まず不定積分を全部求めてから代入します。

不定積分

1行目

$$ \int x dx = \frac{1}{2}x^2+C $$
$$ \int xx dx = \frac{1}{3} x^3 + C $$

2行目


$$ \int \cos{x} dx = \sin{x} + C $$
\begin{align*} & \int x\cos{x} dx \\ =& \int x(\sin{x})' dx \\ =& x\sin{x} - \int \sin{x} dx \\ =& x\sin{x} + \cos{x} + C \end{align*}

3行目


$$ \int 5^{x} dx = \frac{1}{\ln{5}} 5^{x} + C $$
\begin{align*} & \int x5^{x} dx \\ =& \frac{1}{\ln{5}}\int x(5^{x})' dx \\ =& \frac{1}{\ln{5}} \left ( x5^{x} - \int 5^{x} dx \right) \\ =& \frac{1}{\ln{5}} \left ( x5^{x} - \frac{1}{\ln{5}} 5^x \right) + C \\ =& \frac{1}{\ln{5}} \left ( x - \frac{1}{\ln{5}} \right) 5^x + C \end{align*}

4行目


$$ \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C $$

3行目の2つ目と同様にして

$$ \int xe^{2x} dx = \frac{1}{\ln{e^2}} \left ( x - \frac{1}{\ln{e^2}} \right)\left(e^2\right)^x + C = \frac{1}{2} \left ( x - \frac{1}{2} \right)e^{2x} + C $$

5行目


$\sqrt{x^2+1}$の積分のために、$x=\sinh{t}$とおくと、$\sqrt{x^2+1}=\cosh{t}$かつ$dx=\cosh{t}$が成り立ちます。

また、
$$ \sinh{2t} = 2\sinh{t}\cosh{t} $$
$$ \cosh{2t} = \cosh^2{t} + \sinh^2{t} = 2\cosh^2{t} - 1 $$
です。

都合上、$\mathrm{arcsinh}$$\log$で表しておきます。

\begin{align*} \sinh{t} &= x \\ e^{t} - e^{-t} &= 2x \\ e^{t} - 2x - e^{-t} &= 0 \\ t &= \log{\left(x + \sqrt{x^2+1} \right)} \end{align*}

よって
\begin{align*} & \int \sqrt{x^2+1} dx \\ &= \int \cosh^2{t} dt \\ &= \frac{1}{2} \int \left(\cosh{2t}+1\right) dt \\ &= \frac{1}{4} \sinh{2t} + \frac{t}{2} + C \\ &= \frac{1}{2} \sinh{t}\cosh{t} + \frac{t}{2} + C \\ &= \frac{1}{2} x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\mathrm{arcsinh}{x} + C \\ &= \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2+1} + \log{\left(x + \sqrt{x^2+1} \right)} \right) + C \end{align*}
となります。

$ \int x\sqrt{x^2+1} dx $も同様に双曲線関数を用いて計算します。と思いましたが、双曲線関数の積和の公式が必要になったので導出します。ちなみに、筆者は三角関数の積和の公式すら覚えていません。

$$ \sinh{(\alpha+\beta)} = \sinh{\alpha}\cosh{\beta} + \cosh{\alpha}\sinh{\beta} $$
(しゃいたこしゅもしゅこしゅもしゅしゃいた)
なので、$\beta \rightarrow -\beta$と置換すると
$$ \sinh{(\alpha-\beta)} = \sinh{\alpha}\cosh{\beta} - \cosh{\alpha}\sinh{\beta} $$
となり、上から下を引くことで
$$ \cosh{\alpha}\sinh{\beta} = \frac{1}{2} \left(\sinh{(\alpha+\beta)} - \sinh{(\alpha-\beta)}\right) $$
が得られます。

また、3倍角の公式が必要になったのでそれも導出します。
$$ \cosh{(\alpha+\beta)} = \cosh{\alpha}\cosh{\beta} + \sinh{\alpha}\sinh{\beta} $$
(こしゅもしゅこしゅもしゅしゃいたしゃいた)
なので、
\begin{align*} & \cosh{3t} \\ &= \cosh{2t}\cosh{t} + \sinh{2t}\sinh{t} \\ &= (2\cosh^2{t} - 1)\cosh{t} + 2\sinh{t}\cosh{t}\sinh{t} \\ &= (2\cosh^2{t} - 1)\cosh{t} + 2\cosh{t}(\cosh^2{t} - 1) \\ &= 4\cosh^3{t}-3\cosh{t} \end{align*}
です。

\begin{align*} & \int x\sqrt{x^2+1} dx \\ &= \int \sinh{t}\cosh^2{t} dt \\ &= \frac{1}{2} \int \sinh{t}\left(\cosh{2t}+1\right) dt \\ &= \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{2}\left(\sinh{3t} - \sinh{t}\right)\right)+\sinh{t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \left(\sinh{3t} + \sinh{t}\right) dt \\ &= \frac{1}{12} \cosh{3t} + \frac{1}{4}\cosh{t} + C \\ &= \frac{1}{3} \cosh^3{t} + C \\ &= \frac{1}{3} \sqrt{x^2+1} \left(x^2+1\right) + C \end{align*}

・・・ちょっと待てよ!?

別解

\begin{align*} & \int x\sqrt{x^2+1} dx \\ &= \int \sinh{t}\cosh^2{t} dt \\ &= \int (\cosh{t})'\cosh^2{t} dt \\ &= \frac{1}{3} \cosh^3{t} + C \\ &= \frac{1}{3} \sqrt{x^2+1} \left(x^2+1\right) + C \end{align*}

これでよくないか?

3倍角なんていらなかったんや・・・

別解の別解

\begin{align*} & \int x\sqrt{x^2+1} dx \\ &= \frac{1}{2} \int (x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{2}} dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{3} \left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}

双曲線関数なんていらなかったんや・・・

だから、積分なんて諦め・・・ませんwww(突然のエミネム)

気を取り直して次いきましょう。

6行目


$\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}$です。

$$ \int \sin{x}\cos{x} dx = \int \frac{1}{2}\sin{2x} dx = -\frac{1}{4}\cos{2x} + C $$

\begin{align*} & \int x\sin{x}\cos{x} dx \\ =& \frac{1}{2}\int x\sin{2x} dx \\ =& \frac{1}{2}\int x\left(-\frac{1}{2}\cos{2x}\right)' dx \\ =& -\frac{1}{4}x\cos{2x} + \frac{1}{4} \int \cos{2x} dx \\ =& -\frac{1}{4}x\cos{2x} + \frac{1}{8} \sin{2x} + C \\ \end{align*}

7行目

6行目とほとんど同じです。$\frac{1}{2}$の係数が付かない分こっちの方が簡単かもしれません。

$$ \int \cos{2x} dx = \frac{1}{2}\sin{2x} + C $$

\begin{align*} & \int x\cos{2x} dx \\ =& \int x\left(\frac{1}{2}\sin{2x}\right)' dx \\ =& \frac{1}{2}x\sin{2x} - \frac{1}{2} \int \sin{2x} dx \\ =& \frac{1}{2}x\sin{2x} - \frac{1}{4} \cos{2x} + C \\ \end{align*}

8行目

ごめんなさい。既知とさせてください。実際は部分積分で求まります。
$\frac{d}{dx}(x-1)e^x = e^x+(x-1)e^x=xe^x$なので$\int xe^x = (x-1)e^x + C $

\begin{align*} & \int xxe^x dx \\ &= \int x^2(e^x)' dx \\ &= x^2e^x - \int 2xe^x dx \\ &= x^2e^x - 2(x-1)e^x + C \\ &= (x^2 - 2x + 2)e^x + C \end{align*}

9行目

$s,i,n$がよく見たら斜体ですが、好意的に$\sin$と解釈します。しかし、筆者は$\sin$の3倍角の公式を覚えてないので、加法定理から導出します。と思ったらその必要はありませんでした。

まず5行目で導出した

$$ \cosh{3t} = 4\cosh^3{t}-3\cosh{t} $$

の両辺を$t$で微分して$3$で割ります。

\begin{align*} \sinh{3t} &= 4\cosh^2{t}\sinh{t} - \sinh{t} \\ &= 4(1+\sinh^2{t})\sinh{t} - \sinh{t} \\ &= 4\sinh^3{t} + 3\sinh{t} \end{align*}

$ \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-i\sinh{ix} $なので、$t=ix$を代入して整理します。(※虚数が出てくるのはここだけです。少しの間だけ辛抱ください。)

\begin{align*} \sinh{3ix} &= 4\sinh^3{ix} + 3\sinh{ix} \\ -i\sinh{3ix} &= -4i\sinh^3{ix} - 3i\sinh{ix} \\ -i\sinh{3ix} &= -4(-i\sinh{ix})^3 - 3i\sinh{ix} \\ \sin{3x} &= 3\sin{x} - 4\sin^3{x} \end{align*}

となり、めでたく3倍角の公式が得られました。あとはこれを変形して

$$ \sin^3{x} = \frac{3\sin{x} - \sin{3x}}{4} = \frac{3}{4}\sin{x} - \frac{1}{4}\sin{3x} $$

とすれば、積分に便利な形にできました。

$$ \int \sin^3{x} = \int \left( \frac{3}{4}\sin{x} - \frac{1}{4}\sin{3x} \right) dx = -\frac{3}{4}\cos{x} + \frac{1}{12} \cos{3x} + C $$

7行目の2つ目と同様にして、

$$ \int x\sin{x} dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C $$
$$ \int x\sin{3x} dx = -\frac{1}{3}x\cos{3x} + \frac{1}{9}\sin{3x} + C $$

が得られるので、

\begin{align*} & \int x\sin^3{x} \\ &= \int x\left( \frac{3}{4}\sin{x} - \frac{1}{4}\sin{3x} \right) dx \\ &= -\frac{3}{4}x\cos{x} + \frac{3}{4}\sin{x} + \frac{1}{12}x\cos{3x} - \frac{1}{36}\sin{3x} + C \end{align*}

となります。

10行目

これはウイニングランですか?

$$ \int \left( 3x^3+2x+1 \right) dx = \frac{3}{4}x^4 + x^2 + x + C $$

$$ \int x\left( 3x^3+2x+1 \right) dx = \int \left( 3x^4+2x^2+x \right) dx = \frac{3}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C $$

代入

事実上のウイニングランです。

1行目


$$ \int_0^1 x dx = \frac{1}{2} $$
$$ \int_0^{2\pi} x dx = 2\pi^2 $$
$$ \int_1^3 x dx = \frac{9-1}{2} = 4 $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} x dx = \frac{\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}{2} = 1 $$
$$ \int_{-1}^1 x dx = 0 \text{(∵奇関数)} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} x dx =\pi^2 \cdot \frac{1-\frac{1}{4}}{2} = \frac{3}{8}\pi^2 $$
$$ \int_5^6 x dx = \frac{36-25}{2} = \frac{11}{2} $$
$$ \int_0^{\pi} x dx = \frac{\pi^2}{2} $$
$$ \int_0^{\pi/2} xx dx = \frac{\pi^3}{24} $$
$$ \int_{-1}^1 xx dx = \frac{1-(-1)}{3} = \frac{2}{3} $$

2行目

$$ \int_0^1 \cos{x} dx = \sin{1} $$
$$ \int_0^2{\pi} \cos{x} dx = 0 $$
$$ \int_1^3 \cos{x} dx = \sin{3} - \sin{1} $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} \cos{x} dx = \sin{\frac{3}{2}} - \sin{\frac{1}{2}} $$
$$ \int_{1}^{-1} \cos{x} dx = 2 \int_0^1 \cos{x} = 2\sin{1} \text{(∵偶関数)} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \cos{x} dx = 0 - 1 = -1 $$
$$ \int_{6}^{5} \cos{x} dx = \sin{6} - \sin{5} $$
$$ \int_{0}^{\pi} \cos{x} dx = 0 $$
$$ \int_{0}^{\pi/2} x\cos{x} dx = \left(\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0\right) - (0 \cdot 0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 $$
$$ \int_{-1}^{1} x\cos{x} dx = 0 \text{(∵奇関数)} $$

3行目

$$ \int_0^1 5^x dx = \frac{5-1}{\ln{5}} = \frac{4}{\ln{5}} $$
$$ \int_0^{2\pi} 5^x dx = \frac{5^{2\pi}-1}{\ln{5}} $$
$$ \int_1^3 5^x dx = \frac{125-5}{\ln{5}} = \frac{120}{\ln{5}} $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} 5^x dx = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{5}}{\ln{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{\ln{5}} $$
$$ \int_{-1}^1 5^x dx = \frac{5-\frac{1}{5}}{\ln{5}} = \frac{24}{5\ln{5}} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} 5^x dx = \frac{5^{\pi}-5^{\pi/2}}{\ln{5}} $$
$$ \int_5^6 5^x dx = \frac{15625-3125}{\ln{5}} = \frac{12500}{\ln{5}} $$
$$ \int_0^{\pi} 5^x dx = \frac{5^{\pi}-1}{\ln{5}} $$
$$ \int_0^{\pi/2} x5^x dx = \frac{1}{\ln{5}}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\ln{5}} \right)5^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{(\ln{5})^2} $$
$$ \int_{-1}^1 x5^x dx = \frac{1}{\ln{5}}\left(1 - \frac{1}{\ln{5}} \right)\cdot 5 - \frac{1}{\ln{5}}\left(-1 - \frac{1}{\ln{5}} \right)\frac{1}{5} = \frac{1}{5\ln{5}}\left( 26 - \frac{24}{\ln{5}} \right) $$

4行目

$$ \int_0^1 e^{2x} dx = \frac{e^2-1}{2} $$
$$ \int_0^{2\pi} e^{2x} dx = \frac{e^{4\pi}-1}{2} $$
$$ \int_1^3 e^{2x} dx = \frac{e^6-e^2}{2} $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} e^{2x} dx = \frac{e^3-e}{2} $$
$$ \int_{-1}^{1} e^{2x} dx = \frac{e^2-\frac{1}{e^2}}{2} = \frac{e^4-1}{2e^2} $$
$$ \int_{\pi}^{2\pi} e^{2x} dx = \frac{e^{4\pi}-e^{2\pi}}{2} $$
$$ \int_5^6 e^{2x} dx = \frac{e^{12}-e^{10}}{2} $$
$$ \int_0^{\pi} e^{2x} dx = \frac{e^{2\pi}-1}{2} $$
$$ \int_0^{\pi/2} xe^{2x} dx = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right)e^{\pi} - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\pi - 1 \right)e^{\pi} + \frac{1}{4} = \frac{\left(\pi - 1 \right)e^{\pi} + 1}{4}$$
$$ \int_{-1}^1 xe^{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) e^{-2} = \frac{e^4+3}{4e^2} $$

5行目

$$ \int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(1\sqrt{2} + \log{(1+\sqrt{2})} - 0 - \log{1}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \log{(1+\sqrt{2})}) $$
$$ \int_0^{2\pi} \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{4\pi^2+1} + \log{(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1})}\right) $$
$$ \int_1^3 \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(3\sqrt{10} + \log{(3+\sqrt{10})} - \sqrt{2} - \log{(1+\sqrt{2})}\right) $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{13}{4}} + \log{\left(\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}}\right)} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4}} - \log{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}}\right)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{13}}{4} + \log{\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)} - \frac{\sqrt{5}}{4} - \log{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{13} - \sqrt{5}}{4} + \log{\left(\frac{3+\sqrt{13}}{1 + \sqrt{5}}\right)}\right) $$
$$ \int_{-1}^1 \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(1\sqrt{2} + \log{(1+\sqrt{2})} - (-\sqrt{2}) - \log{-1+\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} (2\sqrt{2} + \log{(1+\sqrt{2})^2}) = \sqrt{2} + \log{(1+\sqrt{2})} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(\pi\sqrt{\pi^2+1} + \log{(\pi+\sqrt{\pi^2+1})} - \frac{\pi\sqrt{\pi^2+4}}{4} - \log{\left(\frac{\pi+\sqrt{\pi^2+4}}{2}\right)} \right) $$
$$ \int_5^6 \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(6\sqrt{37} + \log{(6+\sqrt{37})} - 5\sqrt{26} - \log{(5+\sqrt{26})}\right) $$
$$ \int_0^{\pi} \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\left(\pi\sqrt{\pi^2+1} + \log{(\pi+\sqrt{\pi^2+1})}\right) $$
$$ \int_0^{\pi/2} x\sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{3}\left(\frac{(\pi^2+4)\sqrt{\pi^2+4}}{8} - 1\right) $$
$$ \int_{-1}^1 x\sqrt{x^2+1} dx = 0 \text{(∵奇関数)} $$

6行目

$$ \int_0^1 \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(\cos{2} - 1) $$
$$ \int_0^{2\pi} \sin{x}\cos{x} dx = 0 $$
$$ \int_1^3 \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(\cos{6} - \cos{2}) $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(\cos{3} - \cos{1}) $$
$$ \int_{-1}^1 \sin{x}\cos{x} dx = 0 \text{(∵奇関数)} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(1 - (-1)) = -\frac{1}{2} $$
$$ \int_5^6 \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(\cos{12} - \cos{10}) $$
$$ \int_0^{\pi} \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4}(1 - 1) = 0 $$
$$ \int_0^{\pi/2} x\sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{8} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot 1 - \frac{1}{8} \cdot 0 = \frac{\pi}{8} $$
$$ \int_{-1}^{1} x\sin{x}\cos{x} dx = 2\int_{0}^{1} x\sin{x}\cos{x} dx = -\frac{1}{2}\cos{2} + \frac{1}{4}\sin{2} \text{(∵偶関数)} $$

7行目

$$ \int_0^1 \cos{2x} dx = \frac{1}{2}\sin{2} $$
$$ \int_0^{2\pi} \cos{2x} dx = 0 $$
$$ \int_1^3 \cos{2x} dx = \frac{1}{2}(\sin{6} - \sin{2}) $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} \cos{2x} dx = \frac{1}{2}(\sin{3} - \sin{1}) $$
$$ \int_{-1}^1 \cos{2x} dx = \sin{2} \text{(∵偶関数)} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \cos{2x} dx = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0 $$
$$ \int_5^6 \cos{2x} dx = \frac{1}{2}(\sin{12} - \sin{10}) $$
$$ \int_{0}^{\pi} \cos{2x} dx = 0 $$
$$ \int_{0}^{\pi/2} x\cos{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{2} $$
$$ \int_{-1}^{1} x\cos{2x} dx = 0 \text{(∵偶関数)} $$

8行目

$$ \int_0^1 xe^x dx = 0 \cdot e^1 - (-1) \cdot e^0 = 1 $$
$$ \int_0^{2\pi} xe^x dx = (2\pi-1) \cdot e^{2\pi} - (-1) \cdot e^0 = (2\pi-1) e^{2\pi} + 1 $$
$$ \int_1^3 xe^x dx = 2 \cdot e^3 - 0 \cdot e^1 = 2e^3 $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} xe^x dx = \frac{1}{2} \cdot e^\frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot e^\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(e+1\right)\sqrt{e} $$
$$ \int_{-1}^1 xe^x dx = 0 \cdot e^1 - {-2} \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} xe^x dx = (\pi-1) e^{\pi} - \left(\frac{\pi}{2}-1\right) e^{\frac{\pi}{2}} $$
$$ \int_5^6 xe^x dx = 5 \cdot e^6 - 4 \cdot e^5 = 5e^6 - 4e^5 $$
$$ \int_0^{\pi} xe^x dx = (\pi-1) \cdot e^{\pi} - (-1) \cdot e^0 = (\pi-1) e^{\pi} + 1 $$
$$ \int_0^{\pi/2} xxe^x dx = \left(\frac{\pi^2}{4} - \pi + 2\right) e^{\pi/2} - 2 $$
$$ \int_{-1}^{1} xxe^x dx = 1 \cdot e^1 - 5 \cdot e^{-1} = \frac{e^2-5}{e} $$

9行目

$$ \int_0^1 \sin^3{x} dx = -\frac{3}{4}\cos{1} + \frac{1}{12}\cos{3} + \frac{2}{3} $$
$$ \int_0^{2\pi} \sin^3{x} dx = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \right) = 0 $$
$$ \int_1^3 \sin^3{x} dx = \left(-\frac{3}{4}\cos{3} + \frac{1}{12}\cos{9} \right) - \left( -\frac{3}{4}\cos{1} + \frac{1}{12}\cos{3} \right) = \frac{3}{4}\cos{1} - \frac{5}{6}\cos{3} + \frac{1}{12}\cos{9} $$
$$ \int_{1/2}^{3/2} \sin^3{x} dx = \left(-\frac{3}{4}\cos{\frac{3}{2}} + \frac{1}{12}\cos{\frac{9}{2}} \right) - \left( -\frac{3}{4}\cos{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12}\cos{\frac{3}{2}} \right) = \frac{3}{4}\cos{\frac{1}{2}} - \frac{5}{6}\cos{\frac{3}{2}} + \frac{1}{12}\cos{\frac{9}{2}} $$
$$ \int_{-1}^1 \sin^3{x} dx = 0 \text{(∵奇関数)} $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^3{x} dx = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{12}\right) - \left(0 + 0\right) = \frac{2}{3} $$
$$ \int_5^6 \sin^3{x} dx = -\frac{3}{4}\cos{6} + \frac{1}{12}\cos{18} + \frac{3}{4}\cos{5} - \frac{1}{12}\cos{15} $$
$$ \int_{0}^{\pi} \sin^3{x} dx = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{12}\right) - \left(-\frac{3}{4} + \frac{1}{12}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$
$$ \int_{0}^{\pi/2} x\sin^3{x} dx = \left(0 + 0 + \frac{3}{4} + \frac{1}{36}\right) - \left(0 + 0 + 0 + 0\right) = \frac{7}{9} $$
$$ \int_{-1}^{1} x\sin^3{x} dx = 2\int_0^1 x\sin^3x dx = 2\left(-\frac{3}{4}\cos{1} + \frac{1}{12}\cos{3} + \frac{3}{4}\sin{1} - \frac{1}{36}\sin{3}\right) = -\frac{3}{2}\cos{1} + \frac{1}{6}\cos{3} + \frac{3}{2}\sin{1} - \frac{1}{18}\sin{3} $$

10行目

$$ \int_0^1 \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{4}+1+1\right) - \left(0+0+0\right) = \frac{11}{4} $$
$$ \int_0^{2\pi} \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{4} \cdot 16\pi^4+4\pi^2+2\pi\right) - \left(0+0+0\right) = 12\pi^4+4\pi^2+2\pi $$
$$ \int_1^3 \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{243}{4}+9+3\right) - \left(\frac{3}{4}+1+1\right) = \frac{291}{4} - \frac{11}{4} = 70 $$
$$ \int_{3/2}^{1/2} \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{4} \cdot {81}{16} + \frac{9}{4} + \frac{3}{2} \right) - \left(\frac{3}{4} \cdot {1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{243+144+96-3-16-32}{64} = \frac{27}{4} $$
$$ \int_{-1}^1 \left(3x^3+2x+1\right) dx = \int_{-1}^1 1 dx = 2 $$
$$ \int_{\pi/2}^{\pi} \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{4} \cdot \pi^4 + \pi^2 + \pi \right) - \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{\pi^4}{16} + \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{45}{64}\pi^4 + \frac{3}{4}\pi^2 + \frac{1}{2}\pi $$
$$ \int_5^6 \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3888}{4}+36+6\right) - \left(\frac{1875}{4}+25+5\right) = \frac{2013}{4} + 11 + 1 = \frac{2061}{4} $$
$$ \int_0^{\pi} \left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{4} \cdot \pi^4+\pi^2+\pi\right) - \left(0+0+0\right) = \frac{3}{4}\pi^4+\pi^2+\pi $$
$$ \int_0^{\pi/2} x\left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{\pi^5}{32}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi^3}{8}+\frac{1}{2}\cdot{\pi^2}{4}\right) - \left(0+0+0\right) = \frac{3}{160}\pi^5+\frac{1}{12}\pi^3+\frac{1}{8}\pi^2 $$
$$ \int_{-1}^{1} x\left(3x^3+2x+1\right) dx = \left(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{3}{5}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{5} + \frac{2}{3} \right) = \frac{38}{19} $$

ということで、計算が終わりました。現在の時刻は3時5分、タイムは3時間50分です。正直積分のために4時間も溶かすとは思いませんでした。やはり戦犯は双曲線関数です。これがなければ3時間切ってました。

というか、これあってるのか・・・?

投稿日:2021612

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nayuta_ito
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