積分サークルの100マス積分を解いてみた

※この記事では$C$を積分定数とします。

※2つの$x$が別の場所から出てきたというお気持ちを表すために$x^2$を$xx$と書いた箇所があります。

積分サークルの100マス積分の動画 を見てて思いました。

「これって実際やると何時間くらいかかるんだろう?」

というわけで、実際に解いてみます。

では、積分スタートです。現在の時刻は11時15分です。

※執筆途中にサーバーエラーが発生しましたが、メモ帳で解いたので回答時間はそのままとします。

10000マス積分と同じように、まず不定積分を全部求めてから代入します。

不定積分

1行目

$$\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2+C$$
$$\int xxdx=\frac{1}{3}{x}^3+C$$

2行目

3行目

4行目

3行目の2つ目と同様にして

$$\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{\ln e^2}(x-\frac{1}{\ln e^2}){\left(e^2\right)}^x+C=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})e^{2x}+C$$

5行目

また、
$$\sinh 2t=2\sinh t\cosh t$$
$$\cosh 2t={\cosh }^{2}t+{\sinh }^{2}t=2{\cosh }^{2}t-1$$
です。

都合上、$\mathrm{arcsinh}$を$\log$で表しておきます。

$$\begin{array}{rl}\sinh t& =x\\ e^t-e^{-t}& =2x\\ e^t-2x-e^{-t}& =0\\ t& =\log (x+\sqrt{x^2+1})\end{array}$$

よって
$$\begin{array}{rl}& \int \sqrt{x^2+1}dx\\ & =\int {\cosh }^{2}tdt\\ & =\frac{1}{2}\int (\cosh 2t+1)dt\\ & =\frac{1}{4}\sinh 2t+\frac{t}{2}+C\\ & =\frac{1}{2}\sinh t\cosh t+\frac{t}{2}+C\\ & =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\mathrm{arcsinh}x+C\\ & =\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1}))+C\end{array}$$
となります。

$\int x\sqrt{x^2+1}dx$も同様に双曲線関数を用いて計算します。と思いましたが、双曲線関数の積和の公式が必要になったので導出します。ちなみに、筆者は三角関数の積和の公式すら覚えていません。

$$\sinh (\alpha +\beta )=\sinh \alpha \cosh \beta +\cosh \alpha \sinh \beta$$
(しゃいたこしゅもしゅこしゅもしゅしゃいた)
なので、$\beta \to -\beta$と置換すると
$$\sinh (\alpha -\beta )=\sinh \alpha \cosh \beta -\cosh \alpha \sinh \beta$$
となり、上から下を引くことで
$$\cosh \alpha \sinh \beta =\frac{1}{2}(\sinh (\alpha +\beta )-\sinh (\alpha -\beta ))$$
が得られます。

また、3倍角の公式が必要になったのでそれも導出します。
$$\cosh (\alpha +\beta )=\cosh \alpha \cosh \beta +\sinh \alpha \sinh \beta$$
(こしゅもしゅこしゅもしゅしゃいたしゃいた)
なので、
$$\begin{array}{rl}& \cosh 3t\\ & =\cosh 2t\cosh t+\sinh 2t\sinh t\\ & =(2{\cosh }^{2}t-1)\cosh t+2\sinh t\cosh t\sinh t\\ & =(2{\cosh }^{2}t-1)\cosh t+2\cosh t({\cosh }^{2}t-1)\\ & =4{\cosh }^{3}t-3\cosh t\end{array}$$
です。

$$\begin{array}{rl}& \int x\sqrt{x^2+1}dx\\ & =\int \sinh t{\cosh }^{2}tdt\\ & =\frac{1}{2}\int \sinh t(\cosh 2t+1)dt\\ & =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{2}(\sinh 3t-\sinh t)\right)+\sinh tdt\\ & =\frac{1}{4}\int (\sinh 3t+\sinh t)dt\\ & =\frac{1}{12}\cosh 3t+\frac{1}{4}\cosh t+C\\ & =\frac{1}{3}{\cosh }^{3}t+C\\ & =\frac{1}{3}\sqrt{x^2+1}(x^2+1)+C\end{array}$$

・・・ちょっと待てよ！？

別解

$$\begin{array}{rl}& \int x\sqrt{x^2+1}dx\\ & =\int \sinh t{\cosh }^{2}tdt\\ & =\int (\cosh t{)}^{\prime }{\cosh }^{2}tdt\\ & =\frac{1}{3}{\cosh }^{3}t+C\\ & =\frac{1}{3}\sqrt{x^2+1}(x^2+1)+C\end{array}$$

これでよくないか？

3倍角なんていらなかったんや・・・

別解の別解

$$\begin{array}{rl}& \int x\sqrt{x^2+1}dx\\ & =\frac{1}{2}\int (x^2+1{)}^{\prime }(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{1}{3}{(x^2+1)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

双曲線関数なんていらなかったんや・・・

だから、積分なんて諦め・・・ませんｗｗｗ(突然のエミネム)

気を取り直して次いきましょう。

6行目

$$\int \sin x\cos xdx=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx=-\frac{1}{4}\cos 2x+C$$

$$\begin{array}{rl}& \int x\sin x\cos xdx\\ =& \frac{1}{2}\int x\sin 2xdx\\ =& \frac{1}{2}\int x{(-\frac{1}{2}\cos 2x)}^{\prime }dx\\ =& -\frac{1}{4}x\cos 2x+\frac{1}{4}\int \cos 2xdx\\ =& -\frac{1}{4}x\cos 2x+\frac{1}{8}\sin 2x+C\end{array}$$

7行目

6行目とほとんど同じです。$\frac{1}{2}$の係数が付かない分こっちの方が簡単かもしれません。

$$\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$$

$$\begin{array}{rl}& \int x\cos 2xdx\\ =& \int x{(\frac{1}{2}\sin 2x)}^{\prime }dx\\ =& \frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2xdx\\ =& \frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C\end{array}$$

8行目

ごめんなさい。既知とさせてください。実際は部分積分で求まります。
$\frac{d}{dx}(x-1)e^x=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$なので$\int x{e}^x=(x-1)e^x+C$

$$\begin{array}{rl}& \int xx{e}^{x}dx\\ & =\int x^2(e^x{)}^{\prime }dx\\ & =x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx\\ & =x^2{e}^x-2(x-1)e^x+C\\ & =(x^2-2x+2)e^x+C\end{array}$$

9行目

$s,i,n$がよく見たら斜体ですが、好意的に$\sin$と解釈します。しかし、筆者は$\sin$の3倍角の公式を覚えてないので、加法定理から導出します。と思ったらその必要はありませんでした。

まず5行目で導出した

$$\cosh 3t=4{\cosh }^{3}t-3\cosh t$$

の両辺を$t$で微分して$3$で割ります。

$$\begin{array}{rl}\sinh 3t& =4{\cosh }^{2}t\sinh t-\sinh t\\ & =4(1+{\sinh }^{2}t)\sinh t-\sinh t\\ & =4{\sinh }^{3}t+3\sinh t\end{array}$$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-i\sinh ix$なので、$t=ix$を代入して整理します。(※虚数が出てくるのはここだけです。少しの間だけ辛抱ください。)

$$\begin{array}{rl}\sinh 3ix& =4{\sinh }^{3}ix+3\sinh ix\\ -i\sinh 3ix& =-4i{\sinh }^{3}ix-3i\sinh ix\\ -i\sinh 3ix& =-4(-i\sinh ix{)}^3-3i\sinh ix\\ \sin 3x& =3\sin x-4{\sin }^{3}x\end{array}$$

となり、めでたく3倍角の公式が得られました。あとはこれを変形して

$${\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}=\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x$$

とすれば、積分に便利な形にできました。

$$\int {\sin }^{3}x=\int (\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x)dx=-\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x+C$$

7行目の2つ目と同様にして、

$$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x+C$$
$$\int x\sin 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C$$

が得られるので、

$$\begin{array}{rl}& \int x{\sin }^{3}x\\ & =\int x(\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x)dx\\ & =-\frac{3}{4}x\cos x+\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}x\cos 3x-\frac{1}{36}\sin 3x+C\end{array}$$

となります。

10行目

これはウイニングランですか?

$$\int (3x^3+2x+1)dx=\frac{3}{4}{x}^4+x^2+x+C$$

$$\int x(3x^3+2x+1)dx=\int (3x^4+2x^2+x)dx=\frac{3}{5}{x}^5+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C$$

代入

事実上のウイニングランです。

1行目

2行目

$${\int }_0^1\cos xdx=\sin 1$$
$${\int }_0^2\pi \cos xdx=0$$
$${\int }_1^3\cos xdx=\sin 3-\sin 1$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}\cos xdx=\sin \frac{3}{2}-\sin \frac{1}{2}$$
$${\int }_1^{-1}\cos xdx=2{\int }_0^1\cos x=2\sin 1\text{(∵偶関数)}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos xdx=0-1=-1$$
$${\int }_6^5\cos xdx=\sin 6-\sin 5$$
$${\int }_0^{\pi }\cos xdx=0$$
$${\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx=(\frac{\pi }{2}\cdot 1+0)-(0\cdot 0+1)=\frac{\pi }{2}-1$$
$${\int }_{-1}^{1}x\cos xdx=0\text{(∵奇関数)}$$

3行目

$${\int }_0^1{5}^{x}dx=\frac{5-1}{\ln 5}=\frac{4}{\ln 5}$$
$${\int }_0^{2\pi }{5}^{x}dx=\frac{5^{2\pi }-1}{\ln 5}$$
$${\int }_1^3{5}^{x}dx=\frac{125-5}{\ln 5}=\frac{120}{\ln 5}$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}{5}^{x}dx=\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{5}}{\ln 5}=\frac{4\sqrt{5}}{\ln 5}$$
$${\int }_{-1}^1{5}^{x}dx=\frac{5-\frac{1}{5}}{\ln 5}=\frac{24}{5\ln 5}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }{5}^{x}dx=\frac{5^{\pi }-5^{\pi /2}}{\ln 5}$$
$${\int }_5^6{5}^{x}dx=\frac{15625-3125}{\ln 5}=\frac{12500}{\ln 5}$$
$${\int }_0^{\pi }{5}^{x}dx=\frac{5^{\pi }-1}{\ln 5}$$
$${\int }_0^{\pi /2}x{5}^{x}dx=\frac{1}{\ln 5}(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{\ln 5})5^{\frac{\pi }{2}}-\frac{1}{(\ln 5{)}^2}$$
$${\int }_{-1}^{1}x{5}^{x}dx=\frac{1}{\ln 5}(1-\frac{1}{\ln 5})\cdot 5-\frac{1}{\ln 5}(-1-\frac{1}{\ln 5})\frac{1}{5}=\frac{1}{5\ln 5}(26-\frac{24}{\ln 5})$$

4行目

$${\int }_0^1{e}^{2x}dx=\frac{e^2-1}{2}$$
$${\int }_0^{2\pi }{e}^{2x}dx=\frac{e^{4\pi }-1}{2}$$
$${\int }_1^3{e}^{2x}dx=\frac{e^6-e^2}{2}$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}{e}^{2x}dx=\frac{e^3-e}{2}$$
$${\int }_{-1}^1{e}^{2x}dx=\frac{e^2-\frac{1}{e^2}}{2}=\frac{e^4-1}{2e^2}$$
$${\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{2x}dx=\frac{e^{4\pi }-e^{2\pi }}{2}$$
$${\int }_5^6{e}^{2x}dx=\frac{e^{12}-e^{10}}{2}$$
$${\int }_0^{\pi }{e}^{2x}dx=\frac{e^{2\pi }-1}{2}$$
$${\int }_0^{\pi /2}x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})e^{\pi }-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}(\pi -1)e^{\pi }+\frac{1}{4}=\frac{(\pi -1)e^{\pi }+1}{4}$$
$${\int }_{-1}^{1}x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{3}{2})e^{-2}=\frac{e^4+3}{4e^2}$$

5行目

$${\int }_0^1\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(1\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})-0-\log 1)=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2}))$$
$${\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(2\pi \sqrt{4{\pi }^2+1}+\log (2\pi +\sqrt{4{\pi }^2+1}))$$
$${\int }_1^3\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(3\sqrt{10}+\log (3+\sqrt{10})-\sqrt{2}-\log (1+\sqrt{2}))$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{13}{4}}+\log (\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}})-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4}}-\log (\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}}))=\frac{1}{2}(\frac{3\sqrt{13}}{4}+\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)-\frac{\sqrt{5}}{4}-\log \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right))=\frac{1}{2}(\frac{3\sqrt{13}-\sqrt{5}}{4}+\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{1+\sqrt{5}}\right))$$
$${\int }_{-1}^1\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(1\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})-(-\sqrt{2})-\log -1+\sqrt{2})=\frac{1}{2}(2\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2}{)}^2)=\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(\pi \sqrt{{\pi }^2+1}+\log (\pi +\sqrt{{\pi }^2+1})-\frac{\pi \sqrt{{\pi }^2+4}}{4}-\log \left(\frac{\pi +\sqrt{{\pi }^2+4}}{2}\right))$$
$${\int }_5^6\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(6\sqrt{37}+\log (6+\sqrt{37})-5\sqrt{26}-\log (5+\sqrt{26}))$$
$${\int }_0^{\pi }\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(\pi \sqrt{{\pi }^2+1}+\log (\pi +\sqrt{{\pi }^2+1}))$$
$${\int }_0^{\pi /2}x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{3}(\frac{({\pi }^2+4)\sqrt{{\pi }^2+4}}{8}-1)$$
$${\int }_{-1}^{1}x\sqrt{x^2+1}dx=0\text{(∵奇関数)}$$

6行目

$${\int }_0^1\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(\cos 2-1)$$
$${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$$
$${\int }_1^3\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(\cos 6-\cos 2)$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(\cos 3-\cos 1)$$
$${\int }_{-1}^1\sin x\cos xdx=0\text{(∵奇関数)}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(1-(-1))=-\frac{1}{2}$$
$${\int }_5^6\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(\cos 12-\cos 10)$$
$${\int }_0^{\pi }\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}(1-1)=0$$
$${\int }_0^{\pi /2}x\sin x\cos xdx=-\frac{1}{4}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot (-1)+\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 0\cdot 1-\frac{1}{8}\cdot 0=\frac{\pi }{8}$$
$${\int }_{-1}^{1}x\sin x\cos xdx=2{\int }_0^{1}x\sin x\cos xdx=-\frac{1}{2}\cos 2+\frac{1}{4}\sin 2\text{(∵偶関数)}$$

7行目

$${\int }_0^1\cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2$$
$${\int }_0^{2\pi }\cos 2xdx=0$$
$${\int }_1^3\cos 2xdx=\frac{1}{2}(\sin 6-\sin 2)$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}\cos 2xdx=\frac{1}{2}(\sin 3-\sin 1)$$
$${\int }_{-1}^1\cos 2xdx=\sin 2\text{(∵偶関数)}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos 2xdx=\frac{1}{2}(1-1)=0$$
$${\int }_5^6\cos 2xdx=\frac{1}{2}(\sin 12-\sin 10)$$
$${\int }_0^{\pi }\cos 2xdx=0$$
$${\int }_0^{\pi /2}x\cos 2xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot (-1)-\frac{1}{2}\cdot 0\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 1=-\frac{1}{2}$$
$${\int }_{-1}^{1}x\cos 2xdx=0\text{(∵偶関数)}$$

8行目

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=0\cdot e^1-(-1)\cdot e^0=1$$
$${\int }_0^{2\pi }x{e}^{x}dx=(2\pi -1)\cdot e^{2\pi }-(-1)\cdot e^0=(2\pi -1)e^{2\pi }+1$$
$${\int }_1^{3}x{e}^{x}dx=2\cdot e^3-0\cdot e^1=2e^3$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}x{e}^{x}dx=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{3}{2}}-(-\frac{1}{2})\cdot e^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(e+1)\sqrt{e}$$
$${\int }_{-1}^{1}x{e}^{x}dx=0\cdot e^1--2\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }x{e}^{x}dx=(\pi -1)e^{\pi }-(\frac{\pi }{2}-1)e^{\frac{\pi }{2}}$$
$${\int }_5^{6}x{e}^{x}dx=5\cdot e^6-4\cdot e^5=5e^6-4e^5$$
$${\int }_0^{\pi }x{e}^{x}dx=(\pi -1)\cdot e^{\pi }-(-1)\cdot e^0=(\pi -1)e^{\pi }+1$$
$${\int }_0^{\pi /2}xx{e}^{x}dx=(\frac{{\pi }^2}{4}-\pi +2)e^{\pi /2}-2$$
$${\int }_{-1}^{1}xx{e}^{x}dx=1\cdot e^1-5\cdot e^{-1}=\frac{e^2-5}{e}$$

9行目

$${\int }_0^1{\sin }^{3}xdx=-\frac{3}{4}\cos 1+\frac{1}{12}\cos 3+\frac{2}{3}$$
$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{3}xdx=(-\frac{2}{3})-(-\frac{2}{3})=0$$
$${\int }_1^3{\sin }^{3}xdx=(-\frac{3}{4}\cos 3+\frac{1}{12}\cos 9)-(-\frac{3}{4}\cos 1+\frac{1}{12}\cos 3)=\frac{3}{4}\cos 1-\frac{5}{6}\cos 3+\frac{1}{12}\cos 9$$
$${\int }_{1/2}^{3/2}{\sin }^{3}xdx=(-\frac{3}{4}\cos \frac{3}{2}+\frac{1}{12}\cos \frac{9}{2})-(-\frac{3}{4}\cos \frac{1}{2}+\frac{1}{12}\cos \frac{3}{2})=\frac{3}{4}\cos \frac{1}{2}-\frac{5}{6}\cos \frac{3}{2}+\frac{1}{12}\cos \frac{9}{2}$$
$${\int }_{-1}^1{\sin }^{3}xdx=0\text{(∵奇関数)}$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }{\sin }^{3}xdx=(\frac{3}{4}-\frac{1}{12})-(0+0)=\frac{2}{3}$$
$${\int }_5^6{\sin }^{3}xdx=-\frac{3}{4}\cos 6+\frac{1}{12}\cos 18+\frac{3}{4}\cos 5-\frac{1}{12}\cos 15$$
$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}xdx=(\frac{3}{4}-\frac{1}{12})-(-\frac{3}{4}+\frac{1}{12})=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$
$${\int }_0^{\pi /2}x{\sin }^{3}xdx=(0+0+\frac{3}{4}+\frac{1}{36})-(0+0+0+0)=\frac{7}{9}$$
$${\int }_{-1}^{1}x{\sin }^{3}xdx=2{\int }_0^{1}x{\sin }^{3}xdx=2(-\frac{3}{4}\cos 1+\frac{1}{12}\cos 3+\frac{3}{4}\sin 1-\frac{1}{36}\sin 3)=-\frac{3}{2}\cos 1+\frac{1}{6}\cos 3+\frac{3}{2}\sin 1-\frac{1}{18}\sin 3$$

10行目

$${\int }_0^1(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{4}+1+1)-(0+0+0)=\frac{11}{4}$$
$${\int }_0^{2\pi }(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{4}\cdot 16{\pi }^4+4{\pi }^2+2\pi )-(0+0+0)=12{\pi }^4+4{\pi }^2+2\pi$$
$${\int }_1^3(3x^3+2x+1)dx=(\frac{243}{4}+9+3)-(\frac{3}{4}+1+1)=\frac{291}{4}-\frac{11}{4}=70$$
$${\int }_{3/2}^{1/2}(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{4}\cdot 8116+\frac{9}{4}+\frac{3}{2})-(\frac{3}{4}\cdot 116+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{243+144+96-3-16-32}{64}=\frac{27}{4}$$
$${\int }_{-1}^1(3x^3+2x+1)dx={\int }_{-1}^{1}1dx=2$$
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{4}\cdot {\pi }^4+{\pi }^2+\pi )-(\frac{3}{4}\cdot \frac{{\pi }^4}{16}+\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{\pi }{2})=\frac{45}{64}{\pi }^4+\frac{3}{4}{\pi }^2+\frac{1}{2}\pi$$
$${\int }_5^6(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3888}{4}+36+6)-(\frac{1875}{4}+25+5)=\frac{2013}{4}+11+1=\frac{2061}{4}$$
$${\int }_0^{\pi }(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{4}\cdot {\pi }^4+{\pi }^2+\pi )-(0+0+0)=\frac{3}{4}{\pi }^4+{\pi }^2+\pi$$
$${\int }_0^{\pi /2}x(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{5}\cdot \frac{{\pi }^5}{32}+\frac{2}{3}\cdot \frac{{\pi }^3}{8}+\frac{1}{2}\cdot {\pi }^{2}4)-(0+0+0)=\frac{3}{160}{\pi }^5+\frac{1}{12}{\pi }^3+\frac{1}{8}{\pi }^2$$
$${\int }_{-1}^{1}x(3x^3+2x+1)dx=(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2})-(-\frac{3}{5}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2})=2(\frac{3}{5}+\frac{2}{3})=\frac{38}{19}$$

〆

ということで、計算が終わりました。現在の時刻は3時5分、タイムは3時間50分です。正直積分のために4時間も溶かすとは思いませんでした。やはり戦犯は双曲線関数です。これがなければ3時間切ってました。

というか、これあってるのか・・・？