体積＝表面積＝辺の全長 となる直方体は存在しない

仮に、そのような直方体が存在するとしますと、

$V=L$を公式を用いて$a$について解いて、
$$a=\frac{4(b+c)}{bc-4}$$

$A=L$を公式を用いて$a$について解いて、
$$a=\frac{2(b+c)-bc}{b+c-2}$$

両者より、
$$\frac{4(b+c)}{bc-4}=\frac{2(b+c)-bc}{b+c-2}$$
両辺に$(bc-4)(b+c-2)$掛けて
$$4(b+c)(b+c-2)=(2(b+c)-bc)(bc-4)$$
これを展開して、
$$4b^2+4bc-8b+4cb+4c^2-8c=(2b^{2}c+2b{c}^2-b^2{c}^2-8b-8c+4bc)$$
$b$についての二次方程式の形に変形します。
$$(c^2-2c+4)b^2+2(-c^2+2c)b+4c^2=0$$
$b$が実数解を持つには、2次方程式の解の公式の判別式$D$が$0$より大きくないといけません。
$$D=(2(-c^2+2c){)}^2-4(c^2-2c+4)\cdot 4c^2$$
$$=4((-c^2+2c{)}^2-4(c^2-2c+4)c^2)$$
$$=4(c^4-4c^3+4c^2-4c^4+8c^3-16c^2)$$
$$=4(-3c^4+4c^3-12c^2)$$
$$=4c^2(-3c^2+4c-12)$$

ここで、$c$は、体積が$0$より大きい直方体の辺の長さ、すなわち$0$より大きい実数なので、$4c^2$は必ず正になります。
そうしますと、$D>0$であるためには、残りの$(-3c^2+4c-12)$が$0$より大きければ、よいわけです。
しかし、式$-3c^2+4c-12$は、増減表を書くとわかりますが、$c$がどのような実数値をとっても、最大でも$-32/3$にしか到達できない、必ず負の値になる放物線なのです。
従って、直方体の辺の長さであるはずの$b$が実数ではないことになり、矛盾してしまいます。これで、最初においた$0$より大きい$V=A=L$の直方体が存在するという仮定が誤っていたことが示されました。