高校数学解説

文献あり

法人番号のチェックデジットと幼女の論理クイズ(自作)

論理クイズ,チェックデジット,検査用符号

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タイトル

はじめに

この記事は第$21$回日曜数学会で発表したネタをもとに編集したものです。

法人番号と呼ばれる、日本国内の法人一つ一つに割り振られている$13$桁の番号があります。この法人番号を題材に使った論理クイズ(幼女の論理クイズ)を考案しました。

法人番号とは

国税庁のサイトによれば、法人番号とはつぎのようなものてす。

法人番号

法人には、１法人１つの法人番号（13桁）が指定され、登記上の所在地等に通知されます。個人番号（マイナンバー）と異なり、原則として公表され、どなたでも自由に利用できます。(国税庁のサイトより)

いくつか例をあげてみましょう。

法人番号	商号又は名称
2000012010019	内閣府
7010401090954	Ｔｗｉｔｔｅｒ　Ｊａｐａｎ株式会社
3010401041317	ＳＢクリエイティブ株式会社

※　法人番号がつけられる法人は、株式会社に限らず、内閣府など行政機関にも付番されています。

幼女の論理クイズとは

「幼女の論理クイズ」と呼ばれるジャンルがあります。たいていは、とても頭脳明晰な数人の幼女が出てきて、難しい問題を論理の力で解かなければならない設定になっています。

なぜ幼女？

2017年ごろに「たぶんこれが世界一難しい論理クイズ」として二人の幼女が出てくる論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」というものがあるということをTwitterで知りました。それからしばらくして幼女の論理クイズをよく見るようになりましたので、現在、ネットで幼女の論理パズルがいろいろ出回っているのはその影響ではないかと思っていますが、実際のところはよくわかりません。

なぜ「幼女」？と思って調べてみたところ、一説によれば幼女とは「幻ノ女」の略称であり、完璧な演繹・推論を行うこの世ならざる存在として、論理クイズの世界では「幼女」が登場するのだそうです。(信じるか信じないかはあなた次第です)

参考: 超難問論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」が本当に難しすぎた

自作の幼女の論理クイズ（法人番号編）

まずは、私の考えた幼女の論理クイズ（法人番号編）を紹介します。

　白紙が置いてある部屋があります。悪魔はランダムに$12$桁の自然数を一つ選んでこの白紙に書き込みます。

　この部屋の外に幼女$A$と幼女$B$を待機させています。

　悪魔は数字を書き終えると幼女$A$だけをこの部屋に入れて、$1$以上$9$以下の数字のどれか一つを告げます。

　その後、悪魔は幼女$A$に紙に書かれた$12$桁の数字のどれか一つを指さします。

　幼女$A$は、悪魔が指さしている数字を好きな数字に書き換えさせることができます。変更しなくてもかまいません。

　その後、悪魔は幼女$B$をこの部屋に入れます。

　幼女$B$は紙に書かれた数字を見て、幼女$A$に告げられた数字を当てなければなりません。解答のチャンスは１回のみ。

　ただし、幼女たちはルールを知った上でゲーム開始前に戦略を打ち合わせることができます。

是非、一度解法を考えていただきたいと思います。
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結末

この問題の結末はこうです。

【結末】
幼女たちは、「法人番号の指定等に関する省令第二条」を使って無事にこの部屋を脱出することができました。

法人番号の指定等に関する省令第２条

「なんのこっちゃ」と思われたかもしれません。解説は後でするとして、とりあえずこの条文すごいと思いませんか?

法律の文体と数式が悪魔合体して、「法律の文体嫌い」な人からも「数式嫌い」な人からも、どちらからも嫌われそうな禍々しい姿ではありませんか。

ちなみに私はこういうの大好きです。

条文の中にバリバリ数式が出てくるのがなんとも面白いですね。

実際のところ、たいていの法令では「～を乗じて、～で除す」みたいに、数式を使わず文章で計算式を表現していることがほとんどですので、こんな風に数式がそのまま出てくるのはとても珍しいです。

ところでこういった法令は「官報」で公布されるのですが、「官報」の文章は縦書きなんです。この数式の入った省令はどうやって官報に載せたのか、気になったので調べてみました。(過去の官報のデータは「インターネット版官報」のサイトで誰でもみることができます。)

インターネット版官報

拡大版

無理やり詰め込んだ感がすごいです。実に強引で面白いですね!

解説

もう少し詳しく説明します。
法人番号は$13$桁の数字からなるのですが、本体である基礎番号部分は$12$桁で、先頭に「チェックデジット」と呼ばれる検査用符号をつけて全部で$13$桁となっています。

法人番号の仕組み

「法人番号の指定等に関する省令第二条」は、このチェックデジットの計算式を表しています。

算式
$\displaystyle{9-\left(\sum_{n=1}^{12} P_n \times Q_n \text{を}9\text{で除した余り} \right)}$

算式の符号
$P_n$ 令第三十五条第一項に規定する基礎番号の最下位の桁を$1$桁目としたときの$n$桁目の数字
$Q_n$ $n$が奇数のとき$1$、$n$が偶数のとき$2$

国税庁のサイトに図解がありますのでそれを見てみましょう。

チェックデジットの計算

チェックデジットの計算例

もし何かのシステムに法人番号を入力する際に、法人番号のどれか１つの数字に誤入力があった場合、計算が合わなくなるのでシステム側で誤入力を検出できるというわけですね。
ただし、「$9$で割ったあまり」でチェックしているため、誤入力のパターンによってはたまたま計算があってしまう可能性があります。
「$10$で割ったあまり」にしなかった理由はわかりませんが、$13$桁の法人番号の先頭の数字を$0$にしたくなかったのかもしれませんね。

また、偶数桁の数字だけ$2$倍にすることで、隣り合う数字が入れ替わった場合も検出できるようになっています。

幼女たちは、このチェックデジットで法人番号の誤入力を検出する仕組みを逆に利用し、あえて誤入力することでチェックデジットを変化させて悪魔の挑戦に答えたというわけでした。

法人番号のチェックデジットの計算式を使った解法

それでは具体的な解法を説明します。

　幼女$A$は、悪魔が書いた$12$桁の数字を法人番号の基礎番号部分だとした場合に、チェックデジットがいくつになるかを考えます。
　すると、悪魔の指定した桁の数字を適切な数に書き換える(わざと誤入力を起こす)ことで、チェックデジットが$1$～$9$のどの数字になるのかをコントロールすることができます。
　適切な数に書き換えていれば、幼女$B$は「法人番号の指定等に関する省令第二条」に従ってチェックデジットを計算すれば答えがわかるというわけです!

具体例

悪魔が紙に
$202106131400$
と書き、幼女$A$を部屋に入れた後、右から$4$桁目を指定し、整数「$6$」を告げます。
幼女は$4$桁目を変化させたときのチェックデジットがどうなるか計算します。

チェックデジット	12桁の数字
3	$20210613\dot{0}400$
1	$20210613\dot{1}400$
8	$20210613\dot{2}400$
$\underline{6}$	$\underline{20210613\dot{3}400}$
4	$20210613\dot{4}400$
2	$20210613\dot{5}400$
9	$20210613\dot{6}400$
7	$20210613\dot{7}400$
5	$20210613\dot{8}400$
3	$20210613\dot{9}400$