選択公理⇔全射なら右逆写像が存在

$f:X\to Y$を全射とする．このとき，任意の$y\in Y$に対し$f^{-1}(\{y\})$は空でない．ゆえに，選択公理より$\prod _{y\in Y}{f}^{-1}(\{y\})$も空でないので，その元$g:Y\to X$がとれる．任意の$y\in Y$に対し$g(y)\in f^{-1}(\{y\})$であるから$(f\circ g)(y)=y$を満たす．よって$f\circ g={\mathrm{id}}_Y$である．

$(X_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を空でない集合からなる族とする．$Y=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda },A=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(\{\lambda \}\times X_{\lambda })$とおくと，$X_{\lambda }$が空でないことから，第一射影$p_1:\mathrm{\Lambda }\times Y\to \mathrm{\Lambda }$の制限$p_1{|}_A:A\to \mathrm{\Lambda }$は全射である．よって，ある$\phi :\mathrm{\Lambda }\to A$が存在して$p_1\circ \phi ={\mathrm{id}}_{\mathrm{\Lambda }}$を満たす．$p_2:\mathrm{\Lambda }\times Y\to Y$を第二射影，$i:A\to \mathrm{\Lambda }\times Y$を包含写像として$h=p_2\circ i\circ \phi$とおく．このとき，任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対し$h(\lambda )\in X_{\lambda }$であるから$h\in \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }$である．