選択公理⇔全射なら右逆写像が存在

$f:X\to Y$を全射とする．このとき，任意の$y\in Y$に対し$f^{-1}(\{y\})$は空でない．ゆえに，選択公理より$\prod_{y\in Y}f^{-1}(\{y\})$も空でないので，その元$g:Y\to X$がとれる．任意の$y\in Y$に対し$g(y)\in f^{-1}(\{y\})$であるから$(f\circ g)(y)=y$を満たす．よって$f\circ g=\mathrm{id}_Y$である．

$(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を空でない集合からなる族とする．$Y=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda,A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(\{\lambda\}\times X_\lambda)$とおくと，$X_\lambda$が空でないことから，第一射影$p_1:\Lambda\times Y\to\Lambda$の制限$p_1|_A:A\to\Lambda$は全射である．よって，ある$\varphi:\Lambda\to A$が存在して$p_1\circ \varphi=\mathrm{id}_\Lambda$を満たす．$p_2:\Lambda\times Y\to Y$を第二射影，$i:A\to\Lambda\times Y$を包含写像として$h=p_2\circ i\circ\varphi$とおく．このとき，任意の$\lambda\in\Lambda$に対し$h(\lambda)\in X_\lambda$であるから$h\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$である．