Zornの補題⇔Xが帰納的でφ:X→Xが∀x∈X(x≦φ(x))ならばφは不動点をもつ

Zornの補題より$X$は極大元$x_0$をもつ．もし$x_0<\varphi(x_0)$であるとすると，これは$x_0$の極大性に反する．ゆえに$x_0=\varphi(x_0)$である．

背理法により示す．$(X,\leq)$を帰納的順序集合で極大元をもたないものとする．$Y=X\times \mathbb{N}$を辞書式順序$\preceq$により半順序集合とみなすとき，$Y$は帰納的順序集合であることを示す．$C$を任意の$Y$の鎖とする．$p_1:X\times\mathbb{N}\to X$を第一射影とするとき，$p_1(C)$は$X$の鎖であるから上界$u\in X$をもつ．$X$は極大元をもたないので，$x< a$を満たす$a\in X$が存在する．このとき，任意の$(x,n)\in Y$に対し$(x,n)\preceq(a,0)$であるから$(a,0)$は$Y$の上界である．これで$Y$が帰納的順序集合であることが示された．写像$\varphi:Y\to Y$を$\varphi(x,n)=(x,n+1)$で定義すると，任意の$(x,n)\in Y$に対し$(x,n)\preceq\varphi(x,n)$を満たすが，不動点をもたない．これは矛盾である．