Zornの補題⇔Xが帰納的でφ:X→Xが∀x∈X(x≦φ(x))ならばφは不動点をもつ

選択公理

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Zornの補題とある不動点定理の同値性を示します．

$(X,\leq)$を順序集合とする．部分集合$C\subset X$が$\leq$に関して全順序となるとき，$C$は$X$の鎖であるという．
順序集合$(X,\leq)$が帰納的であるとは，任意の$X$の鎖が$X$に上界をもつことをいう．
$x_0\in X$が写像$\varphi:X\to X$の不動点であるとは$\varphi(x_0)=x_0$を満たすことをいう．

次は同値である．

(Zornの補題)：帰納的順序集合$(X,\leq)$は極大元をもつ．
$(X,\leq)$を帰納的順序集合とする．写像$\varphi:X\to X$が任意の$x\in X$に対し$x\leq\varphi(x)$を満たすとき，$\varphi$は不動点をもつ．

1$\Longrightarrow$2

Zornの補題より$X$は極大元$x_0$をもつ．もし$x_0<\varphi(x_0)$であるとすると，これは$x_0$の極大性に反する．ゆえに$x_0=\varphi(x_0)$である．

2$\Longrightarrow$1

背理法により示す．$(X,\leq)$を帰納的順序集合で極大元をもたないものとする．$Y=X\times \mathbb{N}$を辞書式順序$\preceq$により半順序集合とみなすとき，$Y$は帰納的順序集合であることを示す．$C$を任意の$Y$の鎖とする．$p_1:X\times\mathbb{N}\to X$を第一射影とするとき，$p_1(C)$は$X$の鎖であるから上界$u\in X$をもつ．$X$は極大元をもたないので，$x< a$を満たす$a\in X$が存在する．このとき，任意の$(x,n)\in Y$に対し$(x,n)\preceq(a,0)$であるから$(a,0)$は$Y$の上界である．これで$Y$が帰納的順序集合であることが示された．写像$\varphi:Y\to Y$を$\varphi(x,n)=(x,n+1)$で定義すると，任意の$(x,n)\in Y$に対し$(x,n)\preceq\varphi(x,n)$を満たすが，不動点をもたない．これは矛盾である．