Zornの補題⇔Xが帰納的でφ:X→Xが∀x∈X(x≦φ(x))ならばφは不動点をもつ

選択公理

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Zornの補題とある不動点定理の同値性を示します．

$(X, \leq)$ を順序集合とする．部分集合 $C \subset X$ が $\leq$ に関して全順序となるとき， $C$ は $X$ の鎖であるという．
順序集合 $(X, \leq)$ が帰納的であるとは，任意の $X$ の鎖が $X$ に上界をもつことをいう．
$x_{0} \in X$ が写像 $φ : X \to X$ の不動点であるとは $φ (x_{0}) = x_{0}$ を満たすことをいう．

次は同値である．

(Zornの補題)：帰納的順序集合 $(X, \leq)$ は極大元をもつ．
$(X, \leq)$ を帰納的順序集合とする．写像 $φ : X \to X$ が任意の $x \in X$ に対し $x \leq φ (x)$ を満たすとき， $φ$ は不動点をもつ．

⟹

Zornの補題より $X$ は極大元 $x_{0}$ をもつ．もし $x_{0} < φ (x_{0})$ であるとすると，これは $x_{0}$ の極大性に反する．ゆえに $x_{0} = φ (x_{0})$ である．

⟹

背理法により示す． $(X, \leq)$ を帰納的順序集合で極大元をもたないものとする． $Y = X \times N$ を辞書式順序 $⪯$ により半順序集合とみなすとき， $Y$ は帰納的順序集合であることを示す． $C$ を任意の $Y$ の鎖とする． $p_{1} : X \times N \to X$ を第一射影とするとき， $p_{1} (C)$ は $X$ の鎖であるから上界 $u \in X$ をもつ． $X$ は極大元をもたないので， $x < a$ を満たす $a \in X$ が存在する．このとき，任意の $(x, n) \in Y$ に対し $(x, n) ⪯ (a, 0)$ であるから $(a, 0)$ は $Y$ の上界である．これで $Y$ が帰納的順序集合であることが示された．写像 $φ : Y \to Y$ を $φ (x, n) = (x, n + 1)$ で定義すると，任意の $(x, n) \in Y$ に対し $(x, n) ⪯ φ (x, n)$ を満たすが，不動点をもたない．これは矛盾である．