フィボナッチ数の性質と計算方法 (3) 定数係数 3 項間漸化式

ある実数$\lambda$に対して、数列 $b_n := a_{n+1} - \lambda \, a_n$ を考える。
元の漸化式において$a_{n+2}, a_{n+1}$を消去して、
$$ ~~ b_{n+1} -(p - \lambda) b_n + (\lambda^2 - p \lambda + q) a_n = 0 $$

$\alpha, \beta$を 2 次方程式 $x^2 - px + q = 0$ の 2 解とすると、$\alpha + \beta = p, ~ \alpha \beta = q$ を満たす。
そこで$\lambda = \alpha$と選ぶと、$b_{n+1} = \beta \, b_n$ という形にできる。
このとき$b_n$は等比数列であり、
$$ ~~ b_n = \beta^n \, b_0 = \beta^n (a_1 - \alpha a_0)$$
さらに$\lambda = \beta$と選んでも同様だから、
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} - \alpha \, a_n = \beta^n (a_1 - \alpha a_0) \\ a_{n+1} - \beta \, a_n = \alpha^n (a_1 - \beta a_0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

1. $\alpha \neq \beta$の場合、
   上の 2 式より、
   $$ (\alpha - \beta) \, a_n = \alpha^n (a_1 - \beta a_0) - \beta^n (a_1 - \alpha a_0) $$

2. $\alpha = \beta$ (重解) の場合、
   $$ a_{n+1} - \alpha \, a_n = \alpha^n (a_1 - \alpha a_0) $$
   $q \neq 0$により$\alpha \neq 0$だから、
   $$ \frac{a_{n+1}}{\alpha^n} - \frac{a_n}{\alpha^{n-1}} = a_1 - \alpha a_0 $$
   したがって $\dfrac{a_n}{\alpha^{n-1}}$ は等差数列であり、
   $$ \frac{a_n}{\alpha^{n-1}} = \alpha a_0 + n(a_1 - \alpha a_0) = n a_1 - (n-1) \alpha a_0 \\ a_n = n \alpha^{n-1} a_1 - (n-1) \alpha^n a_0 $$

さらに、i の式を変形すると、
$$ ~~ a_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} a_1 - \frac{\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}}{\alpha - \beta} \alpha \beta a_0 $$
となり、$\displaystyle \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha^{n-1-k} \beta^k$ により、ii の式はこれに含まれる。

$$ ~~ qa_{n}-pa_{n+1}+a_{n+2}=0 ~~ (n < 0) $$
とし、$a_{-1}, a_{-2}, a_{-3}, \cdots$と順に値が定まっていくと考え、$n \geq 0$のときと同様の解法を用いる。

2 次方程式 $qx^2-px+1 = 0$ の 2 解は$x=\alpha^{-1}, \beta^{-1}$だから、$n \leq 1$に対し、
$$ ~~ a_n = \dfrac{\alpha^{-(1-n)} (a_0 - \beta^{-1} a_1) - \beta^{-(1-n)} (a_0 - \alpha^{-1} a_1)}{\alpha^{-1}-\beta^{-1}} \\ ~~~~~~~ = \dfrac{-\alpha^{n} (a_1 - \beta a_0) + \beta^{n} (a_1 - \alpha a_0)}{\beta-\alpha} \\ ~~~~~~~ = \dfrac{\alpha^{n} (a_1 - \beta a_0) - \beta^{n} (a_1 - \alpha a_0)}{\alpha-\beta} $$

$\alpha + \beta = p, ~ \alpha \beta = q$ を用いる。

$a_{-n} = -q^{-n} a_n$ を式変形していくと、
$$ ~~ \alpha^{-n} (a_1 - \beta a_0) - \beta^{-n} (a_1 - \alpha a_0) = -q^{-n} (\alpha^n (a_1 - \beta a_0) - \beta^n (a_1 - \alpha a_0)) \\ ~~ \alpha^{-n} (a_1 - \beta a_0) - \beta^{-n} (a_1 - \alpha a_0) = -\beta^{-n} (a_1 - \beta a_0) + \alpha^{-n} (a_1 - \alpha a_0) \\ ~~ \alpha^{-n} (\alpha - \beta) a_0 + \beta^{-n} (\alpha - \beta) a_0 = 0 \\ ~~ (\alpha^{-n} + \beta^{-n}) (\alpha - \beta) a_0 = 0 $$
したがって $a_0 = 0$ となり、$(a_0, a_1)$が$(0, 1)$の定数倍であるときに限られる。

また、$a_{-n} = q^{-n} a_n$ を式変形していくと、
$$ ~~ \alpha^{-n} (a_1 - \beta a_0) - \beta^{-n} (a_1 - \alpha a_0) = q^{-n} (\alpha^n (a_1 - \beta a_0) - \beta^n (a_1 - \alpha a_0)) \\ ~~ \alpha^{-n} (a_1 - \beta a_0) - \beta^{-n} (a_1 - \alpha a_0) = \beta^{-n} (a_1 - \beta a_0) - \alpha^{-n} (a_1 - \alpha a_0) \\ ~~ \alpha^{-n} (2a_1 - (\alpha+\beta) a_0) - \beta^{-n} (2a_1 - (\alpha+\beta) a_0) = 0 \\ ~~ (\alpha^{-n} - \beta^{-n}) (2a_1 - pa_0) = 0 $$
したがって $pa_0 = 2a_1$ となり、$(a_0, a_1)$が$(2, p)$の定数倍であるときに限られる。

なお、$\alpha = \beta$の場合も上の議論に含まれる (一般項の分子が$\alpha-\beta$で割り切れることに注意すればよい)。

公式 2 に代入すれば得られる。