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大学数学基礎解説
文献あり

1+1=1?

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小学生が教室で話しています。

1+1は?」

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「ブー!1でしたー!2つの泥団子を1つにしたら1でーす!」

今回のテーマはこれです。

これが正しいのかを検証していきます。

1+1=1?

結論を言うと、1+1=2です。
しかし、これは自然界が決めたルールにすぎません。

ルールはそう!作るものです。

以下の条件を満たす性質を持つ演算をと呼びます。

f:G×GGに対し

  1. 結合法則が成り立つ
    a,b,cG s.t. f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
    (a+b)+c=a+(b+c)
    (ab)c=a(bc)

  2. 単位元が存在する
    aG, ae=ea=aが成り立つ時、
    eGは単位元
    xC, x+0=0+x=x 0+
    xC, x1=1x=x 1

  3. 逆元が存在する
    eG,aG, ab=ba=eが成り立つ時、bGは逆元
    xC, x+(x)=(x)+x=0 +xx
    xC,x0, xx1=x1x=1 x1x

ここで話を戻します。

1+1=1ということは、1が単位元ということになります。
つまり、この小学生は1を単位元として+を再定義した。もしくは、×と勘違いしたということになります。

前者の+は使い道がないので、個人的には後者だと思います。

単位元を1として再定義する場合

1+の単位元とすると、1+1=1となります。

じゃあ0は?

その子の考え方で言うと、0個の泥団子は混ぜられないので、

1+0=1となりそうです。

しかし、待ってください。

先ほど、単位元は1と定義しましたが、このままだと0も単位元となり、単位元が2つ存在するということになります。

群では単位元は一つです。

e,eG
aG, ae=ea=a 
ae=ea=a 
,より、
ae=ae
左からa1を演算すると
e=e

よって、1+0=1は間違いです。

この子の+の定義を知りたい。

+を×にするとうまくいく

+×にするとうまくいきます。

1×1=1

この子は、2つの泥団子を合体させています。

例えば、赤色の泥団子に、黄色の泥団子と青色の泥団子のどちらか1つをくっつけることを考えます。

混ぜると、オレンジ色の泥団子か、紫色の泥団子になり、2通りとなります。

つまり、1×2=2です。

また、赤色の泥団子と黄色の泥団子のどちらか一つと、青色の泥団子と黒色の泥団子のどちらか一つを混ぜると、組み合わせは




となり、2×2=4となります。

もし、泥団子が0個の場合は、くっつけることができないので0になります。

また、4つ合体させて1つにする場合は1×1×1×1=1となり、つじつまが合います。

この子が言っているのはこういうことじゃないでしょうか!

違いますね。はい。

3+5=35?

小学生が教室で話しています。

「じゃあ3+5は?」

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「ブー!35でしたー!」

次はこれを考えていきます。

3+5=35となる世界線

まずは、次のように考えます。

f:G×GG
 (a,b) ab
(abと書くとa×bとまぎらわしいので変えてます。)

例えば、f(1,2)=12f(3,5)=35f(f(1,6),8)=168

結合法則は成り立ちますが、単位元、逆元がないので群ではありません。

プログラミングの世界では3+5=35

ちなみにJavaなど、プログラミングの世界ではStringという型があります。

プログラミングでは、変数に型を指定する必要があります。

例えば、intを指定すると、その変数には整数が入ります。

int a = 7;

int b = -10;

とすると、aに7、bに-10が代入されます。

演算子がintの場合は

a + b = -3

となります。

一方、Stringを指定すると文字列が入ります。

String c = "おはよい"

String d = "laghing dog"

とすると、cに「おはよい」、dに「laghing dog」という文字が代入されます。

さらに、+も定義されていて、StringとStringを足すと、文字列を繋げることができ

c + d = "おはよいlaghing dog"

となります。

なので、もし3と5が文字列の場合、"3"+"5"="35"となります。
(""は文字列ということを強調しているので無視してもよいです。)

よって、この小学生はプログラミングのStringの概念を理解しているということになります!

ちなみにStringは""(空文字)が単位元ですが、逆元がないので群ではありません。

まとめ

1+1=11×1=1
3+5=35String
!!

参考文献

投稿日:2021619
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あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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