１＋１＝１？

小学生が教室で話しています。

「$1+1$は？」

「$2$」

「ブー！$1$でしたー！$2$つの泥団子を$1$つにしたら$1$でーす！」

今回のテーマはこれです。

これが正しいのかを検証していきます。

1+1=1?

結論を言うと、$1+1=2$です。
しかし、これは自然界が決めたルールにすぎません。

ルールはそう！作るものです。

群

以下の条件を満たす性質を持つ演算を群と呼びます。

ここで話を戻します。

$1+1=1$ということは、$1$が単位元ということになります。
つまり、この小学生は$1$を単位元として$+$を再定義した。もしくは、$×$と勘違いしたということになります。

前者の$+$は使い道がないので、個人的には後者だと思います。

単位元を1として再定義する場合

$1$を$+$の単位元とすると、$1+1=1$となります。

じゃあ$0$は？

その子の考え方で言うと、$0$個の泥団子は混ぜられないので、

$1+0=1$となりそうです。

しかし、待ってください。

先ほど、単位元は$1$と定義しましたが、このままだと$0$も単位元となり、単位元が$2$つ存在するということになります。

群では単位元は一つです。

よって、$1+0=1$は間違いです。

この子の$+$の定義を知りたい。

+を×にするとうまくいく

$+$を$×$にするとうまくいきます。

$1×1=1$

この子は、$2$つの泥団子を合体させています。

例えば、赤色の泥団子に、黄色の泥団子と青色の泥団子のどちらか$1$つをくっつけることを考えます。

混ぜると、オレンジ色の泥団子か、紫色の泥団子になり、$2$通りとなります。

つまり、$1×2=2$です。

また、赤色の泥団子と黄色の泥団子のどちらか一つと、青色の泥団子と黒色の泥団子のどちらか一つを混ぜると、組み合わせは

$$赤ー青$$
$$黄ー黒$$
$$赤ー青$$
$$黄ー黒$$

となり、$2×2=4$となります。

もし、泥団子が$0$個の場合は、くっつけることができないので$0$になります。

また、$4$つ合体させて$1$つにする場合は$1×1×1×1=1$となり、つじつまが合います。

この子が言っているのはこういうことじゃないでしょうか！

違いますね。はい。

3+5=35？

小学生が教室で話しています。

「じゃあ$3+5$は？」

「$8$」

「ブー！$35$でしたー！」

次はこれを考えていきます。

3+5=35となる世界線

まずは、次のように考えます。

$$f:G×G→G$$
$$　(a,b)　\mapsto aとbを繋げたもの$$
（abと書くとa×bとまぎらわしいので変えてます。）

例えば、$f(1,2) = 12、f(3,5)=35、f(f(1,6),8)=168$

結合法則は成り立ちますが、単位元、逆元がないので群ではありません。

プログラミングの世界では3+5=35

ちなみにJavaなど、プログラミングの世界ではStringという型があります。

プログラミングでは、変数に型を指定する必要があります。

例えば、intを指定すると、その変数には整数が入ります。

int a = 7;

int b = -10;

とすると、aに7、bに-10が代入されます。

演算子がintの場合は

a + b = -3

となります。

一方、Stringを指定すると文字列が入ります。

String c = "おはよい"

String d = "laghing dog"

とすると、cに「おはよい」、dに「laghing dog」という文字が代入されます。

さらに、$+$も定義されていて、StringとStringを足すと、文字列を繋げることができ

c + d = "おはよいlaghing dog"

となります。

なので、もし3と5が文字列の場合、"3"+"5"="35"となります。
（""は文字列ということを強調しているので無視してもよいです。）

よって、この小学生はプログラミングのStringの概念を理解しているということになります！

ちなみにStringは""（空文字）が単位元ですが、逆元がないので群ではありません。

まとめ

$$・「1+1=1」は「1×1=1」のこと$$
$$・「3+5=35」はString型$$
$$・まったく、小学生は最高だぜ!!$$