Lefschetz Fixed Point Theorem

初めまして．kissshotと申します．初投稿として，位相的不動点定理としてよく知られているBrouwerの不動点定理（${\mathbb{R}}^n$のコンパクト凸集合上の任意の自己連続写像は不動点をもつ）の拡張であるLefschetzの不動点定理と更にその一般化を紹介しようと思います．

$X$がコンパクトENRならば次数つき加群$H_{\ast }(X)$は有限生成であるからこの定義はwell-definedである．特に$L(\mathrm{id})$は$X$のEuler標数$\chi (X)$に一致する．
ここで，ENR（Euclidean Neighborhood Retract）とは，ある次元のユークリッド空間の近傍レトラクトと同相な位相空間のことである．特にコンパクト多面体はENRである．
（因みにENRは局所コンパクト可分有限次元距離空間で局所可縮とも言い換えられる．）

Lefschetzの不動点定理とは，次のようなステートメントである．

特に$X$を閉球$D^n\subset {\mathbb{R}}^n$とすれば，$D^n$は可縮だから任意の$f:D^n\to D^n$に対して$L(f)=1$である．従って，Brouwerの不動点定理を得る（Brouwerの不動点定理自体はもっと簡単に証明できる）．
また，コンパクト多面体上のLefschetzの不動点定理は$\mathbb{Z}$係数でも成立する.

Lefschetzの不動点定理をもう少し詳しく見るために不動点指数という概念を定義する．
以下，生成元${\omega }_0\in H_n({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n-0)\cong \mathbb{Z}$を1つ固定する．

$V\subset {\mathbb{R}}^n$を開集合，$f:V\to {\mathbb{R}}^n$の不動点集合$\mathrm{Fix}(f)\subset {\mathbb{R}}^n$はコンパクトとする．
${\omega }_{\mathrm{Fix}(f)}\in H_n({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n-\mathrm{Fix}(f))$を$\mathrm{Fix}(f)$の周りの基本ホモロジー類とするとき，切除同型$H_n(V,V-\mathrm{Fix}(f))\cong H_n({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n-\mathrm{Fix}(f))$によって${\omega }_{\mathrm{Fix}(f)}$に写る$H_n(V,V-\mathrm{Fix}(f))$の元を${\omega }_{\mathrm{Fix}(f)}^V$と表す．

今，$X$をコンパクトENRとすれば，$X$を${\mathbb{R}}^n$のある近傍レトラクトと同一視できる．すなわち，連続写像$r:O\to X$で$r\circ i=\mathrm{id}:X\hookrightarrow O\to X$を満たすものが存在する．ここに$O$は${\mathbb{R}}^n$の開集合である．
よって，$r^{-1}(V)\stackrel{r}{⟶}V\stackrel{f}{⟶}X\stackrel{i}{⟶}O\subset {\mathbb{R}}^n$の合成を考えれば，$\mathrm{Fix}(i\circ f\circ r)\approx \mathrm{Fix}(f)$より，$\mathrm{Fix}(i\circ f\circ r)$はコンパクトであるから不動点指数$I(i\circ f\circ r,r^{-1}(V))$が定まる．このとき，$I(i\circ f\circ r,r^{-1}(V))$は$O,r$のとり方に依存せずに決まるから，これを（コンパクトENRにおける）$f$の不動点指数といい，$I(f,V)$で表す．$I(f,V)$はホモトピー不変量である．また，明らかに$I(f,V)\ne 0$ならば$\mathrm{Fix}(f)\ne \mathrm{\varnothing }$が成り立つ．

不動点指数は局所的にも定めることができる．$x_0$を$f:X\to X$の孤立不動点とする．このとき，$x_0$の近傍$U$で$U\cap \mathrm{Fix}(f)=\{x_0\}$を満たすものがとれる．このとき，不動点指数の性質より$I(f|U,U)$は$U$のとり方によらない．よってこれを$I(f,x_0)$で表し，$x_0$における$f$の不動点指数という．

従って，定理2よりLefschetzの不動点定理を得る．

一致点への拡張

$2$つの連続写像$f,g:X\to Y$に対して$f(x)=g(x)$を満たすような$x\in X$のことを$f,g$の一致点と呼ぶ．特に$f:X\to X$の不動点は$f$と$\mathrm{id}$の一致点である．向きのついたコンパクト多様体(境界があってもよい)に対しては，次のLefschetzの一致点定理が成り立つ．

Nielsenの理論

Lefschetzの理論だけでは不動点の存在性までしかわからないが，不動点がいくつあるかという疑問に対してNielsenの理論はその下界を与える．

$\mathrm{Fix}(f)$はコンパクトだからNielsen classは有限個しかない．
今，$\mathcal{F}$をNielsen class，$U$を$U\cap \mathrm{Fix}(f)=\mathcal{F}$を満たす$\mathcal{F}$の近傍とする．このとき，不動点指数$I(f,\mathcal{F}):=I(f,U)$は$U$のとり方に依らない．

$N(f)$はホモトピー不変量であり，次の不等式が成り立つ．
$$N(f)\le min\{\mathrm{\#}\mathrm{Fix}(g)\mid g\simeq f\}.$$
よって，$f:X\to X$は少なくとも$N(f)$個の不動点をもつ．

Reidemeister traceについて

そして，Lefschetz数とNielsen数の両方を包含する不変量であるReidemeister trace（一般化Lefschetz数）というものがある．

定義よりReidemeister traceはホモトピー不変量で，$R(f)\ne 0$ならば$\mathrm{Fix}(f)\ne \mathrm{\varnothing }$である．
具体的な空間の自己写像に対するReidemeister traceの計算について，円周のbouquetの自己写像に対してFox微分を用いてReidemeister traceを計算している論文もあった．