2の3乗根が無理数であることの好きな証明

$a_n:=(\sqrt[3]{2}-1{)}^n$とおく．$0<\sqrt[3]{2}-1<1$より，$n\to \mathrm{\infty }$で$a_n\to 0$．
ここで，二項定理より，任意の$n$について，次のように書ける．
$$a_n=b_n+c_n\sqrt[3]{2}+d_n\sqrt[3]{4}(b_n,c_n,d_n\in \mathbb{Z})$$
さて，$\sqrt[3]{2}$が有理数と仮定し，$\sqrt[3]{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$とおく．
上式にこれを代入し，
$$a_n={\displaystyle \frac{1}{q^2}}(q^2{b}_n+pq{c}_n+p^2{d}_n)$$
となる．ここで，$a_n>0$であるので，分子$q^2{b}_n+pq{c}_n+p^2{d}_n$は正の整数．ゆえに，$a_n\ge {\displaystyle \frac{1}{q^2}}$．これは${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$に矛盾．よって，$\sqrt[3]{2}$は無理数．