2の3乗根が無理数であることの好きな証明

$a_n:=(\sqrt[3]{2}-1)^n$とおく．$0<\sqrt[3]{2}-1<1$より，$n\to\infty$で$a_n\to0$．
ここで，二項定理より，任意の$n$について，次のように書ける．
$$a_n=b_n+c_n\sqrt[3]{2}+d_n\sqrt[3]{4}\quad(b_n, c_n, d_n\in\mathbb{Z})$$
さて，$\sqrt[3]{2}$が有理数と仮定し，$\sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}$とおく．
上式にこれを代入し，
$$a_n=\dfrac{1}{q^2}(q^2b_n+pqc_n+p^2d_n)$$
となる．ここで，$a_n>0$であるので，分子$q^2b_n+pqc_n+p^2d_n$は正の整数．ゆえに，$a_n\geq\dfrac{1}{q^2}$．これは$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$に矛盾．よって，$\sqrt[3]{2}$は無理数．