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2の3乗根が無理数であることの好きな証明

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\sqrt[3]{2}$は無理数である.

$a_n:=(\sqrt[3]{2}-1)^n$とおく.$0<\sqrt[3]{2}-1<1$より,$n\to\infty$$a_n\to0$
ここで,二項定理より,任意の$n$について,次のように書ける.
$$a_n=b_n+c_n\sqrt[3]{2}+d_n\sqrt[3]{4}\quad(b_n, c_n, d_n\in\mathbb{Z})$$
さて,$\sqrt[3]{2}$が有理数と仮定し,$\sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}$とおく.
上式にこれを代入し,
$$a_n=\dfrac{1}{q^2}(q^2b_n+pqc_n+p^2d_n)$$
となる.ここで,$a_n>0$であるので,分子$q^2b_n+pqc_n+p^2d_n$は正の整数.ゆえに,$a_n\geq\dfrac{1}{q^2}$.これは$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$に矛盾.よって,$\sqrt[3]{2}$は無理数.

投稿日:2021622

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