大学数学基礎問題

文献あり

基本的な統計量の計算ドリル

計算ドリル,統計学

131

概要

定義は理解しているつもりなのに、いざ計算しようとすると手が止まる……という人向けに作りました。

工事中です。時間が取れた時に追記していきます。
統計の解説を目的としたものではなく、あくまで計算に慣れるための素振りです。
- 各統計量の概念が理解できていない方は、体系的に書かれた教科書を先に読むことをおすすめします。
例示や問題のデータは、Google SpreadsheetのRANDBETWEEN関数で出力しました。各数字に深い意味はありません。
計算ミスの可能性があります。コメントで指摘して頂けると幸いです。

平均値

離散型

$μ := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$

$n$ の数値があるとき、それらの総和を個数で割ったもの。

連続型

$μ := \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$

実現値と確率密度関数の積を負の無限大から正の無限大まで積分したもの。期待値と同じ定義。

離散型

サイコロは $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の目を持つ。目の平均は、
$\frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3.5$

連続型

以下のような確率密度関数を考える。
$f (x) = {\begin{cases} 3 (1 - x) & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (- \infty < x < 0, 1 < x < \infty) \end{cases}$

このとき、平均値は
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x f (x) d x & = \int_{0}^{1} x \cdot 3 (1 - x) d x \\ = 3 \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x \\ = 3 ({[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} - {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1}) \\ = 3 (\frac{1}{2} - 0) - 3 (\frac{1}{3} - 0) \\ = \frac{3}{2} - 1 \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$

以下のデータにおける平均を求めよ。

$90, 48, 29, 22, 20, 78, 20, 69, 48, 74$
$2, 65, 85, 41, 20, 44, 59, 21, 68$
$52, 74, 2, 59, 9, 10, 9, 17$

(1)

$\frac{1}{10} (90 + 48 + 29 + 22 + 20 + 78 + 20 + 69 + 48 + 74) = 49.8$

(2)

$\frac{1}{9} (2 + 65 + 85 + 41 + 20 + 44 + 59 + 21 + 68) = 45$

(3)

$\frac{1}{8} (52 + 74 + 2 + 59 + 9 + 10 + 9 + 17) = 29$

分散

$V (x) := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}$

n個の数値があるとき、それぞれ平均との差を取って2乗した値の平均。

サイコロを5回振って、以下のように目が出た。

$1, 3, 2, 3, 1$

このとき、平均 $μ = \frac{1}{5} (1 + 3 + 2 + 3 + 1) = 2$

だから $V (x) = \frac{1}{5} {(1 - 2)^{2} + (3 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2} + (3 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \frac{1}{5} (1 + 1 + 0 + 1 + 1) = 0.8$

分散は、以下の式でも計算できる。
$V (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}$
「2乗の平均」マイナス「平均の2乗」。

例2と同じ $1, 3, 2, 3, 1$ で分散を求めると、

2乗の平均は $\frac{1}{5} (1^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 1^{2}) = 4.8$

平均の2乗は ${(\frac{1 + 3 + 2 + 3 + 1}{5})}^{2} = 4$

$∴ V (x) = 4.8 - 4 = 0.8$

※証明は参考文献2 を参照

以下のデータにおける分散を上記2通りの計算方法で求めよ。
(1) $8, 6, 10, 18, 10$
(2) $1, 4, 5, 6, 4$
(3) $3, 5, 1, 2, 4$

(1)

例3

$μ = \frac{1}{5} (8 + 6 + 10 + 18 + 10) = 10.4$ なので

$V (x) = \frac{1}{5} {(8 - 10.4)^{2} + (6 - 10.4)^{2} + \dots + (10 - 10.4)^{2}} = 20.64$

例4

2乗の平均は $\frac{8^{2} + 6^{2} + 10^{2} + 18^{2} + 10^{2}}{5} = 124.8$

平均の2乗は ${(\frac{8 + 6 + 10 + 18 + 10}{5})}^{2} = 108.16$

$∴ 124.8 - 108.16 = 20.64$

(2)

例3

$μ = \frac{1}{5} (1 + 4 + 5 + 6 + 4) = 4$ なので

$V (x) = \frac{1}{5} {(1 - 4)^{2} + (4 - 4)^{2} + \dots + (4 - 4)^{2}} = 2.8$

例4

2乗の平均は $\frac{1^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 4^{2}}{5} = 18.8$

平均の2乗は ${(\frac{1 + 4 + 5 + 6 + 4}{5})}^{2} = 16$

$∴ 18.8 - 16 = 2.8$

(3)

例3

$μ = \frac{1}{5} (3 + 5 + 1 + 2 + 4) = 3$ なので

$V (x) = \frac{1}{5} {(3 - 3)^{2} - (5 - 3)^{2} + \dots + (4 - 3)^{2}} = 2$

例4

2乗の平均は $\frac{3^{2} + 5^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{5} = 11$

平均の2乗は ${(\frac{3 + 5 + 1 + 2 + 4}{5})}^{2} = 9$

$∴ 11 - 9 = 2$

参考文献

[1]

平均値の意味と計算方法, AVILEN AI Trend, 閲覧日 2021年6月22日, https://ai-trend.jp/basic-study/basic/average/

[2]

分散の意味と二通りの計算方法, 高校数学の美しい物語, 閲覧日 2021年6月23日, https://manabitimes.jp/math/1081

投稿日：2021年6月23日

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