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大学数学基礎解説
文献あり

メビウスの帯でストークスの定理が成り立たないことを計算で確かめてみる

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メビウスの帯(Möbius strip)は向き付け不可能な曲面として有名ですが、このような曲面に対してはストークス(Stokes)の定理が成り立ちません。このことを具体的に計算して確かめてみたいと思います。

まずメビウスの帯を用意します。次のパラメータ付けで与えられる曲面を$A$とおきます。
\begin{equation} \begin{split} x(u, v) &= \left(R + v\cos\frac{u}{2}\right) \cos u \\ y(u, v) &= \left(R + v\cos\frac{u}{2}\right) \sin u \\ z(u, v) &= v\sin\frac{u}{2} \end{split} \quad (0 \le u \le 2\pi,\, -r \le v \le r,\, 0 < r < R) \end{equation}
このとき、境界$\partial A$を与える曲線は次のようにパラメータ付けできます。
\begin{equation} \begin{split} x(t) &= \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \cos t \\ y(t) &= \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \sin t \\ z(t) &= r\sin\frac{t}{2} \end{split} \quad (0 \le t \le 4\pi) \end{equation}
この曲線は曲面を左手にみるようになっています。少々複雑な式ですが、イメージとしてはドーナツに巻き付くように2周してもとに戻ってくる感じです。

さて、$\overline{A}$を含む領域で定義された1次微分形式$\varphi$
\begin{equation} \varphi := f\, dx + g\, dy := \frac{-y}{x^2 + y^2}\, dx + \frac{x}{x^2 + y^2}\, dy \end{equation}
とおきます。我々の目標は
\begin{equation} \int_{\partial A} \varphi \neq \int_A d\varphi \quad\quad\text{$\cdots$ (1)} \end{equation}
を示すことですが、簡単な計算から$d\varphi = \left( \dfrac{\partial g}{\partial x} - \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) dx \wedge dv = 0$ゆえに (1) の右辺は$0$なので、結局 (1) を示すには左辺の線積分が$0$でないことを示せばよいことになります。というわけで、左辺を具体的に計算してみます。まず
\begin{equation} \begin{split} x'(t) &= - \frac{r}{2}\, \sin\frac{t}{2}\, \cos t - \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \sin t \\ y'(t) &= - \frac{r}{2}\, \sin\frac{t}{2}\, \sin t + \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \cos t \\ z'(t) &= \frac{r}{2}\,\cos\frac{t}{2} \end{split} \end{equation}
なので
\begin{equation} \begin{split} \varphi &= -\frac{\sin t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, dx +\frac{\cos t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, dy \\ &= \left\{ -\frac{\sin t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, x'(t) +\frac{\cos t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, y'(t) \right\} dt \\ &= dt \end{split} \end{equation}
となります。したがって (1) の左辺は
\begin{equation} \begin{split} \int_{\partial A} \varphi = \int_{0}^{4\pi} dt = 4\pi \neq 0 \end{split} \end{equation}
となり、(1) がいえました。

参考文献

[1]
梅原雅顕、山田光太郎, 曲線と曲面 —微分幾何的アプローチ— (改訂版)
投稿日:2021625

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