メビウスの帯でストークスの定理が成り立たないことを計算で確かめてみる
メビウスの帯（Möbius strip）は向き付け不可能な曲面として有名ですが、このような曲面に対してはストークス（Stokes）の定理が成り立ちません。このことを具体的に計算して確かめてみたいと思います。
まずメビウスの帯を用意します。次のパラメータ付けで与えられる曲面を$A$とおきます。
\begin{equation}
\begin{split}
x(u, v) &= \left(R + v\cos\frac{u}{2}\right) \cos u \\
y(u, v) &= \left(R + v\cos\frac{u}{2}\right) \sin u \\
z(u, v) &= v\sin\frac{u}{2}
\end{split}
\quad
(0 \le u \le 2\pi,\, -r \le v \le r,\, 0 < r < R)
\end{equation}
このとき、境界$\partial A$を与える曲線は次のようにパラメータ付けできます。
\begin{equation}
\begin{split}
x(t) &= \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \cos t \\
y(t) &= \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \sin t \\
z(t) &= r\sin\frac{t}{2}
\end{split}
\quad
(0 \le t \le 4\pi)
\end{equation}
この曲線は曲面を左手にみるようになっています。少々複雑な式ですが、イメージとしてはドーナツに巻き付くように2周してもとに戻ってくる感じです。
さて、$\overline{A}$を含む領域で定義された1次微分形式$\varphi$を
\begin{equation}
\varphi := f\, dx + g\, dy := \frac{-y}{x^2 + y^2}\, dx + \frac{x}{x^2 + y^2}\, dy
\end{equation}
とおきます。我々の目標は
\begin{equation}
\int_{\partial A} \varphi \neq \int_A d\varphi
\quad\quad\text{$\cdots$ (1)}
\end{equation}
を示すことですが、簡単な計算から$d\varphi = \left( \dfrac{\partial g}{\partial x} - \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) dx \wedge dv = 0$ゆえに (1) の右辺は$0$なので、結局 (1) を示すには左辺の線積分が$0$でないことを示せばよいことになります。というわけで、左辺を具体的に計算してみます。まず
\begin{equation}
\begin{split}
x'(t) &= - \frac{r}{2}\, \sin\frac{t}{2}\, \cos t - \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \sin t \\
y'(t) &= - \frac{r}{2}\, \sin\frac{t}{2}\, \sin t + \left(R + r\cos\frac{t}{2}\right) \cos t \\
z'(t) &= \frac{r}{2}\,\cos\frac{t}{2}
\end{split}
\end{equation}
なので
\begin{equation}
\begin{split}
\varphi
&= -\frac{\sin t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, dx
+\frac{\cos t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, dy \\
&= \left\{ -\frac{\sin t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, x'(t)
+\frac{\cos t}{R + r \cos \dfrac{t}{2}}\, y'(t) \right\} dt \\
&= dt
\end{split}
\end{equation}
となります。したがって (1) の左辺は
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{\partial A} \varphi = \int_{0}^{4\pi} dt = 4\pi \neq 0
\end{split}
\end{equation}
となり、(1) がいえました。
