メビウスの帯でストークスの定理が成り立たないことを計算で確かめてみる

メビウスの帯（Möbius strip）は向き付け不可能な曲面として有名ですが、このような曲面に対してはストークス（Stokes）の定理が成り立ちません。このことを具体的に計算して確かめてみたいと思います。

まずメビウスの帯を用意します。次のパラメータ付けで与えられる曲面を$A$とおきます。
$$\begin{array}{rl}x(u,v)& =(R+v\cos \frac{u}{2})\cos u\\ y(u,v)& =(R+v\cos \frac{u}{2})\sin u\\ z(u,v)& =v\sin \frac{u}{2}\end{array}(0\le u\le 2\pi ,-r\le v\le r,0<r<R)$$
このとき、境界$\partial A$を与える曲線は次のようにパラメータ付けできます。
$$\begin{array}{rl}x(t)& =(R+r\cos \frac{t}{2})\cos t\\ y(t)& =(R+r\cos \frac{t}{2})\sin t\\ z(t)& =r\sin \frac{t}{2}\end{array}(0\le t\le 4\pi )$$
この曲線は曲面を左手にみるようになっています。少々複雑な式ですが、イメージとしてはドーナツに巻き付くように2周してもとに戻ってくる感じです。

さて、$\bar{A}$を含む領域で定義された1次微分形式$\phi$を
$$\phi :=fdx+gdy:=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$$
とおきます。我々の目標は
$${\int }_{\partial A}\phi \ne {\int }_{A}d\phi \cdots \text{ (1)}$$
を示すことですが、簡単な計算から$d\phi =({\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}})dx\wedge dv=0$ゆえに (1) の右辺は$0$なので、結局 (1) を示すには左辺の線積分が$0$でないことを示せばよいことになります。というわけで、左辺を具体的に計算してみます。まず
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =-\frac{r}{2}\sin \frac{t}{2}\cos t-(R+r\cos \frac{t}{2})\sin t\\ y^{\prime }(t)& =-\frac{r}{2}\sin \frac{t}{2}\sin t+(R+r\cos \frac{t}{2})\cos t\\ z^{\prime }(t)& =\frac{r}{2}\cos \frac{t}{2}\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{rl}\phi & =-\frac{\sin t}{R+r\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}}dx+\frac{\cos t}{R+r\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}}dy\\ & =\{-\frac{\sin t}{R+r\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}}{x}^{\prime }(t)+\frac{\cos t}{R+r\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}}{y}^{\prime }(t)\}dt\\ & =dt\end{array}$$
となります。したがって (1) の左辺は
$$\begin{array}{r}{\int }_{\partial A}\phi ={\int }_0^{4\pi }dt=4\pi \ne 0\end{array}$$
となり、(1) がいえました。