数論的関数をマクローリン展開してみた

はじめに

はじめまして、ねりまだいこんといいます。Mathlogにはじめて投稿します。よろしくお願いします。
$n$の約数の個数を返してくれる関数$d(n)$は 約数関数 と呼ばれています。もしも、この関数をマクローリン展開できたら・・・ということで、いろいろと考えてみました。

準備

自然数$n$を固定したとき、$n$以外の任意の自然数$m$について、
$$ f_n(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{2} 1 & x = n\\ 0 & x = m \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
がなりたつ関数$f_n(x)$を考えます。$x$が自然数以外のときは、どんな値でも構いません。これを用いて、
$$ d^*(x) = \sum_{n=1}^\infty d(n) f_n(x) $$
と定義すれば、$d^*(x)$は自然数$k$において$d(k)$に一致します。このような関数$f$はいくらでも存在するわけですが、今回は
$$ f_n(x) = \frac{\sin^2(2\pi x)}{4\pi^2(x-n)^2}+\frac{\sin^2(2\pi x)}{4\pi^2(x+n)^2} $$
を選びます。
これはこんな形をしています。

$f_1(x)$

展開する

$x$が自然数のとき$d(n)$に一致する関数$d^*(x)$は、
$$ d^*(x) = \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{\sin^2(2\pi x)}{4\pi^2(x-n)^2}+\frac{\sin^2(2\pi x)}{4\pi^2(x+n)^2}\right\}d(n) $$
と書けることになります。これを$x$についてマクローリン展開します。計算がすごい複雑なので結果だけ書くと、
$$ c_k^n = \sum_{s=1}^k (-1)^{s+1} (2k-2s+1) \frac{4(4\pi)^{2s-2}}{(2s)!} \frac{d(n)}{n^{2k-2s+2}} $$
として
$$ \begin{eqnarray} d^*(x) &=& \sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{n=1}^\infty c_k^n \right) x^{2k} \\ &=& \sum_{k=1}^\infty \left\{ \sum_{n=1}^\infty \sum_{s=1}^k (-1)^{s+1} (2k-2s+1) \frac{4(4\pi)^{2s-2}}{(2s)!} \frac{d(n)}{n^{2k-2s+2}} \right\} x^{2k} \\ &=& \sum_{k=1}^\infty \left\{ \sum_{s=1}^k (-1)^{s+1} (2k-2s+1) \frac{4(4\pi)^{2s-2}}{(2s)!} \sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^{2k-2s+2}} \right\} x^{2k} \end{eqnarray} $$
と書けます。ここで$d(n)$の ディリクレ級数 と呼ばれているものを使うと、 リーマンのゼータ関数 および ベルヌーイ数 を用いて、
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^{2a}} = \zeta(2a)^2 = \frac{(B_{2a})^2(2\pi)^{4a}}{4(2a)!^2} $$
と書けることが知られています。したがって
$$ d^*(x) = 4\sum_{n=1}^\infty \left\{ \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}(2n-2k+1) \frac{4^{2n-1} \pi^{4n-2k+2}}{(2k)!(2(n-k+1))!^2} (B_{2n-2k+2})^2 \right\}x^{2n} $$
となります。試しに数学ソフトで$n=90$で打ち切って計算した結果を図に示します。

$d^*(x)$

一般化

さて一般化します。数論的関数$f$のディリクレ級数が$g(s)$であるとき、自然数において$f$と一致する関数$f^*(x)$は
$$ f^*(x) = \sum_{k=1}^\infty \left\{ \sum_{s=1}^k (-1)^{s+1} (2k-2s+1) \frac{4(4\pi)^{2s-2}}{(2s)!} g(2k-2s+2) \right\} x^{2k} $$
となる。