平行四辺形の各頂点から任意の半径で円を描いてみた

178

備忘録のような記事。幾何の研究の途中でこの問題が必要になったので示しておく。
　先行研究をご存知の方は是非コメントを願いたい。

問題

　平行四辺形

A B C D

において、点

A

を中心とする円

ω_{A}

を描く。同様に

ω_{B}, ω_{C}, ω_{D}

も描く。
　

ω_{A}

と

ω_{B}

の2交点をそれぞれ

P, Q

、

ω_{B}

と

ω_{C}

の2交点をそれぞれ

R, S

、

ω_{C}

と

ω_{D}

の2交点をそれぞれ

T, U

、

ω_{D}

と

ω_{A}

の2交点をそれぞれ

V, W

とする。
　このとき、8点

P, Q, R, S, T, U, V, W

は1つの2次曲線(もしくはそれが退縮したもの)上にあることを示しなさい。

解答

幾何を嗜むものとしてあまり好ましくない選択だが、解答を簡潔にするため座標を用いて示す。
　平行四辺形の4頂点の座標をそれぞれ $A (a, - b), B (c, - d), C (- a, b), D (- c, d)$ とすると、 $ω_{A}$ ～ $ω_{D}$ の方程式は実数 $p, q, r, s$ を用いて

\begin{array}{r} ω_{A} : x^{2} - a x + y^{2} + b y + p = 0 \\ ω_{B} : x^{2} - c x + y^{2} + d y + q = 0 \\ ω_{C} : x^{2} + a x + y^{2} - b y + r = 0 \\ ω_{D} : x^{2} + c x + y^{2} - d y + s = 0 \end{array}

と表せる。
　ここで8点

P

～

W

が共通して満たす性質を考えると、それは

$($ 円 $ω_{A}$ または円 $ω_{C}$ 上にある $)$ かつ $($ 円 $ω_{B}$ または円 $ω_{D}$ 上にある $)$

ということである。したがって、以下の2つの式が描くグラフはいずれも8点

P

～

W

を全て通る。

\begin{array}{r} (x^{2} - a x + y^{2} + b y + p) (x^{2} + a x + y^{2} - b y + r) = 0 \\ (x^{2} - c x + y^{2} + d y + q) (x^{2} + c x + y^{2} - d y + s) = 0 \end{array}

　さて、おぼろげながら以下のような式が思い浮かぶ。

(x^{2} - a x + y^{2} + b y + p) (x^{2} + a x + y^{2} - b y + r) - (x^{2} - c x + y^{2} + d y + q) (x^{2} + c x + y^{2} - d y + s) = 0 \dots (X)

(X)

を変形していく。(ただし、

p + q + r + s = H, p + q - r - s = I, p - q + r - s = J, p - q - r + s = K

とおく)

\begin{array}{rcl} (x^{2} - a x + y^{2} + b y + p) (x^{2} + a x + y^{2} - b y + r) - (x^{2} - c x + y^{2} + d y + q) (x^{2} + c x + y^{2} - d y + s) & = & 0 \\ ({(x^{2} + y^{2} + \frac{p + r}{2})}^{2} - {(a x - b y - \frac{p - r}{2})}^{2}) - ({(x^{2} + y^{2} + \frac{q + s}{2})}^{2} - {(c x - d y - \frac{q - s}{2})}^{2}) & = & 0 \\ ({(x^{2} + y^{2} + \frac{p + r}{2})}^{2} - {(x^{2} + y^{2} + \frac{q + s}{2})}^{2}) - ({(a x - b y - \frac{p - r}{2})}^{2} - {(c x - d y - \frac{q - s}{2})}^{2}) & = & 0 \\ (2 x^{2} + 2 y^{2} + \frac{H}{2}) (\frac{J}{2}) - ((a + c) x - (b + d) y - \frac{I}{2}) ((a - c) x - (b - d) y - \frac{K}{2}) & = & 0 \end{array}

　以上の変形から、

(X)

は

x, y

に関する2次以下の式である。

(X)

は明らかに8点

P

～

W

を通るため、題意は示された。(証明終)

あとがき

4つの円の半径が全部任意であるところがよい。拡張の可能性を感じさせる。
　ただ、今回の記事はあまりネタ要素を入れられなかったので、謹み慎み反省の意を示す所存である。次回はもう少しネタに奔りt

投稿日：2021年7月1日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

匿(Tock)

205

30067

主に初等幾何・レムニスケート。時々偏差値・多重根号。「たとえ作曲家が忘れ去られた日であっても、彼の旋律が街並みを縫って美しく流れていますように。」

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

匿(Tock)

平行四辺形の各頂点から任意の半径で円を描いてみた

問題
解答
あとがき