積分解説7

この記事では, 以下の積分を解説しようと思います.

(証明)

以下の積分路に沿った, 関数${\displaystyle f(z)=\frac{{\log }^{2}z}{\cosh \pi z-\cos \pi \phi }}$の積分を考えます.

積分路1

$R\to \mathrm{\infty }$として, 負の実軸に沿った積分は,
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }+0i}^{+0i}f(z)dz+{\int }_{-0i}^{-\mathrm{\infty }-0i}f(z)dz\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(\log x+i\pi {)}^2-(\log x-i\pi {)}^2}{\cosh \pi x-\cos \pi \phi }dx\\ =& 4\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{\cosh \pi x-\cos \pi \phi }dx\\ =& 8i{\int }_0^1\frac{\log \log \frac{1}{x}-\log \pi }{1-2x\cos \pi \phi +x^2}dx\end{array}$$

ここで, Malmsten's integral ( Wikipedia の5つめの式参照) により ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\log \log \frac{1}{x}}{1-2x\cos \pi \phi +x^2}dx=\frac{\pi }{2\sin \pi \phi }\log \frac{2^{1-\phi }{\pi }^{2-\phi }}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\phi }{2}{)}^2\sin \frac{\pi \phi }{2}}}$

また, 普通に計算すると ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{1-2x\cos \pi \phi +x^2}=\frac{\pi (1-\phi )}{2\sin \pi \phi }}$ となります.
$$

次に$\mathrm{Im}z=\pm 1$に沿った積分は,
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{i+\mathrm{\infty }}^{i-\mathrm{\infty }}f(z)dz+{\int }_{-i-\mathrm{\infty }}^{-i+\mathrm{\infty }}f(z)dz\\ =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\log }^2(x+i)-{\log }^2(x-i)}{\cosh \pi x+\cos \pi \phi }dx\\ =& 2i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x^2+1)\mathrm{arccot}x}{\cosh \pi x+\cos \pi \phi }dx\\ =& 2\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x^2+1)}{\cosh \pi x+\cos \pi \phi }dx\end{array}$$
ただし, $\mathrm{arccot}x+\mathrm{arccot}(-x)=\pi$を利用しました.
$$

最後に, $z=\pm i\phi$での留数は,
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Res}}_{z=\pm i\phi }f& =\underset{z\to \pm i\phi }{lim}\frac{z\mp i\phi }{\cosh \pi z-\cos \pi \phi }{\log }^{2}z\\ & =\frac{{\log }^2(\pm i\phi )}{\pi \sinh (\pm i\pi \phi )}\end{array}$$
より, これらの和は
$$\sum \mathrm{Res}f=\frac{2\log \phi }{\sin \pi \phi }$$
$$

以上より, 求める積分を$I(\phi )$として,

$$2\pi iI(\phi )+\frac{4\pi i}{\sin \pi \phi }(\log \frac{2^{1-\phi }{\pi }^{2-\phi }}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\phi }{2}{)}^2\sin \frac{\pi \phi }{2}}-\log {\pi }^{1-\phi })=4\pi i\frac{\log \phi }{\sin \pi \phi }$$
即ち
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x^2)}{\cosh \pi x+\cos \pi \phi }dx=\frac{2}{\sin \pi \phi }\log \frac{\phi \mathrm{\Gamma }(\frac{\phi }{2}{)}^2\sin \frac{\pi \phi }{2}}{2^{1-\phi }\pi }$$
を得ます.
$$

これの両辺を$\phi$で微分してから$\phi =\frac{1}{2}$とすることで, 以下を得ます.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x^2)}{\cosh \pi x}dx& =2\log \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}{)}^2}{4\pi }\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x^2)}{{\cosh }^2\pi x}dx& =\frac{2}{\pi }(2-\gamma -2\log 2)\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x^2)}{{\cosh }^3\pi x}dx& =\log \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}{)}^2}{4\pi }-\frac{4}{{\pi }^2}(1-G)\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (1+x^2)}{{\cosh }^4\pi x}dx& =\frac{4}{3\pi }(2-\gamma -2\log 2)-\frac{2}{3{\pi }^3}(7\zeta (3)-8)\end{array}$$

$$
読んでくださった方, ありがとうございました.