この記事では, 以下の積分を解説しようと思います.
(証明)
以下の積分路に沿った, 関数f(z)=log2zcoshπz−cosπφの積分を考えます.
積分路1
R→∞として, 負の実軸に沿った積分は,∫−∞+0i+0if(z)dz+∫−0i−∞−0if(z)dz=∫0∞(logx+iπ)2−(logx−iπ)2coshπx−cosπφdx= 4πi∫0∞logxcoshπx−cosπφdx= 8i∫01loglog1x−logπ1−2xcosπφ+x2dx
ここで, Malmsten's integral ( Wikipedia の5つめの式参照) により ∫01loglog1x1−2xcosπφ+x2dx=π2sinπφlog21−φπ2−φΓ(φ2)2sinπφ2
また, 普通に計算すると ∫01dx1−2xcosπφ+x2=π(1−φ)2sinπφ となります.
次にImz=±1に沿った積分は,∫i+∞i−∞f(z)dz+∫−i−∞−i+∞f(z)dz=∫−∞∞log2(x+i)−log2(x−i)coshπx+cosπφdx= 2i∫−∞∞log(x2+1)arccotxcoshπx+cosπφdx=2πi∫0∞log(x2+1)coshπx+cosπφdxただし, arccotx+arccot(−x)=πを利用しました.
最後に, z=±iφでの留数は,Resz=±iφf=limz→±iφz∓iφcoshπz−cosπφlog2z=log2(±iφ)πsinh(±iπφ)より, これらの和は∑Resf=2logφsinπφ
以上より, 求める積分をI(φ)として,
2πiI(φ)+4πisinπφ(log21−φπ2−φΓ(φ2)2sinπφ2−logπ1−φ)=4πilogφsinπφ即ち∫0∞log(1+x2)coshπx+cosπφdx=2sinπφlogφΓ(φ2)2sinπφ221−φπを得ます.
これの両辺をφで微分してからφ=12とすることで, 以下を得ます.
∫0∞log(1+x2)coshπxdx=2log Γ(14)24π∫0∞log(1+x2)cosh2πxdx=2π(2−γ−2log2)∫0∞log(1+x2)cosh3πxdx=log Γ(14)24π−4π2(1−G)∫0∞log(1+x2)cosh4πxdx=43π(2−γ−2log2)−23π3(7ζ(3)−8)
読んでくださった方, ありがとうございました.
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