閉じた性質がなす完備束について

完備な順序集合 $L$ の任意のふたつの元 $x, y$ からなる部分集合 $\{ x, y \}$ も, 仮定から上限 $\sup{\{ x, y \}} = x \cup y$, 下限 $\inf{\{ x, y \}} = x \cap y$ をもつから束である.

集合 $I$ にある closure operation が与えられ, $\mathcal{F}$ を closed な $I$ の部分集合からなる集合系とする. この意味で, $\mathcal{F}$ について,
$$X \in \mathcal{F} \Leftrightarrow X \, \mbox{は closed}$$
である.
$\mathcal{F}$ が Moore family であることを示したいので,
(i) $I \in \mathcal{F}$
(ii) $X_{\alpha} \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcap X_{\alpha} \in \mathcal{F}$
を確認する. まず (C1) から $I \subset \overline{I}$. また, $\overline{I} \in \mathfrak{P}(I)$ なので $\overline{I} \subset I$. よって $\overline{I} = I$ となり $I$ は closed であるので $I \in \mathcal{F}$.
次に $X_{\lambda} \, (\lambda \in \Lambda)$ を closed な部分集合, すなわち $\forall \lambda \in \Lambda, X_{\lambda} \in \mathcal{F}$ とし, $\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = D$ とおく. このとき $\forall \lambda \in \Lambda, D \subset X_{\lambda}$ であり, (C3) から $\forall \lambda \in \Lambda, \overline{D} \subset \overline{X_{\lambda}}$.
$\overline{X_{\lambda}} = X_{\lambda}$ であったから, $\forall \lambda \in \Lambda, \overline{D} \subset X_{\lambda}$. よって $\overline{D} \subset \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = D$. 一方, (C1) より $D \subset \overline{D}$ なので, $D = \overline{D}$, すなわち $D$ は closed であって $D = \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \in \mathcal{F}$. 以上より $\mathcal{F}$ は Moore family である.
逆に $\mathcal{F}$ を $I$ の Moore family とし, $X \subset I$ について $ X \subset F_{\alpha} \in \mathcal{F}$ の共通集合 $\bigcap F_{\alpha}$ を $\overline{X}$ と定義する. $\mathcal{F}$ は Moore family で, (i) から $I \in \mathcal{F}$ なので少なくともそのような集合は存在する. このように定めた $\overline{X}$ が,
(C1) $X \subset \overline{X}$
(C2) $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$
(C3) $X \subset Y \Rightarrow \overline{X} \subset \overline{Y}$
を満たすことを示す.
まず, 任意の $F_{\alpha}$ は $X$ を含むので $X \subset \bigcap F_{\alpha} = \overline{X}$ となり, (C1) が成り立つ.
次に $F_{\alpha}$ を $\overline{X}$ を含む任意の $\mathcal{F}$ の元とする. $\overline{X} \in \mathcal{F}$ なので $\overline{X} \in \{ F_{\alpha} \}$. よって $\bigcap F_{\alpha} \subset \overline{X}$, すなわち $\overline{\overline{X}} \subset \overline{X}$.
最後に $X \subset Y \subset I$ として, $F_{\alpha}$ を $X$ を含む $\mathcal{F}$ の元, $E_{\beta}$ を $Y$ を含む $\mathcal{F}$ の元とする.
$\forall E_{\beta}, \, Y \subset E_{\beta}$ より, $Y \subset \bigcap E_{\beta} \in \mathcal{F}$. $X \subset Y$ であったから $\bigcap E_{\beta} \in \{ F_{\alpha} \}$. よって $\bigcap F_{\alpha} \subset \bigcap E_{\beta} \Leftrightarrow \overline{X} \subset \overline{Y}$.
すなわち (C3) が成り立つ. (証明終)

$\mathcal{F}$ を $I$ の Moore family とし, $\{ X_{\alpha} \}$ をその部分集合とする. 示したいのは, $\inf{\{X_{\alpha}\}}, \sup{\{X_{\alpha}\}} \in \mathcal{F}$ であること.
まず $\inf{\{X_{\alpha}\}}$ がなにかというと, $\bigcap X_{\alpha}$ である. 丁寧にそのことを示すと, 任意の $X_{\alpha}$ に対して, $\bigcap X_{\alpha} \subset X_{\alpha}$ であるから $\bigcap X_{\alpha}$ は $\{ X_{\alpha} \}$ の下界である. また, $L \in \mathcal{F}$ を $\{ X_{\alpha} \}$ の任意の下界であるとすると, すなわち $\forall X_{\alpha} \, , L \subset X_{\alpha}$ とすると, 任意の $l \in L$ について $l \in X_{\alpha} \, , \, \forall X_{\alpha}$ であって, それはつまり $l \in \bigcap X_{\alpha}$ であるから, $L \subset \bigcap X_{\alpha}$. よって $\bigcap X_{\alpha}$ は $\{ X_{\alpha} \}$ の最大の下界, 下限である. では $\inf{\{ X_{\alpha} \}} = \bigcap X_{\alpha}$ は $\mathcal{F}$ に属するだろうか. それは Moore family の定義からいえる;
$$\{ X_{\alpha} \} \subset \mathcal{F} \Rightarrow [\forall X_{\alpha} \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcap X_{\alpha} \in \mathcal{F}]$$
次に $\sup{\{ X_{\alpha} \}}$ について考える. 最初にいうと
$$\sup_{\mathcal{F}}{\{ X_{\alpha} \}} = \overline{\bigcup X_{\alpha}}$$
である. 与えられた Moore family $\mathcal{F}$ について導入された Moore の閉包作用子 $\mathfrak{P}(I) \ni X \mapsto \overline{X} \in \mathfrak{P}(I)$ の性質から, 任意の $X_{\alpha}$ について,
$$X_{\alpha} \subset \bigcup X_{\alpha} \subset \overline{\bigcup X_{\alpha}}$$
が成り立つから $\overline{\bigcup X_{\alpha}}$ は $\{ X_{\alpha} \}$ の上界である. また $U \in \mathcal{F}$ を $\{ X_{\alpha} \}$ の上界として
$$\overline{\bigcup X_{\alpha}} \subset U$$
であることを示したい. $\overline{\bigcup X_{\alpha}}$ とはなにかというと, 定義から, $\bigcup X_{\alpha} \subset F_{\lambda}$ をみたす $F_{\lambda} \in \mathcal{F}$ の共通集合である;
$$\overline{\bigcup X_{\alpha}} = \bigcap F_{\lambda}$$
いま $U$ を $\{ X_{\alpha} \}$ の $\mathcal{F}$ におけるひとつの上界としたから, 任意の $X_{\alpha}$ に関して $X_{\alpha} \subset U$ であるので, $\bigcup X_{\alpha} \subset U$ である. また, $U \in \mathcal{F}$ であるので, $U$ は $\{ F_{\lambda} \}$ のひとつの元であるので, $\bigcap F_{\lambda} \subset U$ が成り立つ. すなわち $\overline{\bigcup X_{\alpha}} \subset U$. つまり $\overline{\bigcup X_{\alpha}}$ は $\{ X_{\alpha} \}$ の $\mathcal{F}$ における最小の上界, 上限である. また Moore family の定義から明らかに $\overline{\bigcup X_{\alpha}} \in \mathcal{F}$ である. (*)
以上から $\mathcal{F}$ の任意の部分集合 $\{ X_{\alpha} \}$ には上限と下限が存在するので, $\mathcal{F}$ は完備束である.(証明終)