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閉じた性質がなす完備束について

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集合 $C$ の部分集合の性質が”閉じている”性質であるとは,
(1) $C$ がその性質を持っている.
(2) 閉じている性質を持つ部分集合の共通集合がその性質を持っている.
ときにいいます.

順序集合 $L$ の任意の部分集合 $X$ が $L$ において上限, 下限をもつとき, $L$ は完備であるという.

順序集合 $L$ が完備であるとき, $L$ は完備束である

完備な順序集合 $L$ の任意のふたつの元 $x, y$ からなる部分集合 ${x, y}$ も, 仮定から上限 $sup {x, y} = x \cup y$ , 下限 $inf {x, y} = x \cap y$ をもつから束である.

完備束 $L$ の部分集合 $S$ が次の条件を満たしているとする.
(i) $L$ の最大元 $I$ について, $I \in S$
(ii) $T \subset S$ ならば $inf T \in S$
この条件は閉じている. なぜならば完備束 $L$ 自身は (i), (ii) を満たしており, (i), (ii)を満たす部分集合からなる共通集合 $⋂ S_{α}$ も (i), (ii) を満たすからである.

このとき $S$ は完備束となる.
[証明] $S$ の任意の部分集合 $T$ について, (ii) より $inf T \in S$ . 次に $S$ の部分集合 $U$ を $T$ の上界全部からなる集合とする. (i) から $I \in U$ で $U$ は空でない. したがって (ii) より $inf U \in S$ となる. このとき $inf U$ は $T$ の上限である. すなわち $inf U = sup T$ . なぜならば任意の $t \in T$ は $U$ の下界であり, 下限の定義から $t ≦ inf U$ が任意の $t \in T$ について成り立ち, $inf U$ は $T$ の上界である. さらに任意の $u \in U$ に対して $inf U ≦ u$ であるから, $T$ に対する最小の上界となっている. 以上から $S$ の任意の部分集合 $T$ に対して $inf T, sup T \in S$ が成り立つので $S$ は完備束である.
(証明終)

closure property: 閉じた性質は次のように特徴づけられます.

集合 $I$ の部分集合からなる集合族 $F$ が Moore family (ムーア(集合)族)であるとは次の条件を満たすものをいう.
(i) $I \in F$
(ii) $X_{α} \in F \Rightarrow ⋂ X_{α} \in F$

また, 閉じた性質は次の閉じた"作用"と結びつきます.

集合 $I$ における closure operation (閉包作用子, または閉包演算)とは $I$ のべき集合 $P (I)$ からそれ自身への写像
$c l : P (I) ∋ X \mapsto \overset{―}{X} \in P (I)$
で, 次の条件を満たすものをいう.
任意の $X, Y \subset I$ について,
(C1) $X \subset \overset{―}{X}$
(C2) $\overset{―}{\overset{―}{X}} = \overset{―}{X}$
(C3) $X \subset Y \Rightarrow \overset{―}{X} \subset \overset{―}{Y}$
また, このように与えられた closure operation について $X \subset I$ が,
$\overset{―}{X} = X$
であるとき, $X$ は closed (閉集合) であるという.

closure property という概念と, closure operation という概念は同じであることを示します. すなわち,

集合 $I$ に与えられた closure operation による closed な部分集合族は Moore family をなし, 逆に Moore family はある閉包作用子をなす.

集合 $I$ にある closure operation が与えられ, $F$ を closed な $I$ の部分集合からなる集合系とする. この意味で, $F$ について,
$X \in F \Leftrightarrow X は closed$
である.
$F$ が Moore family であることを示したいので,
(i) $I \in F$
(ii) $X_{α} \in F \Rightarrow ⋂ X_{α} \in F$
を確認する. まず (C1) から $I \subset \overset{―}{I}$ . また, $\overset{―}{I} \in P (I)$ なので $\overset{―}{I} \subset I$ . よって $\overset{―}{I} = I$ となり $I$ は closed であるので $I \in F$ .
次に $X_{λ} (λ \in Λ)$ を closed な部分集合, すなわち $\forall λ \in Λ, X_{λ} \in F$ とし, $⋂_{λ \in Λ} X_{λ} = D$ とおく. このとき $\forall λ \in Λ, D \subset X_{λ}$ であり, (C3) から $\forall λ \in Λ, \overset{―}{D} \subset \overset{―}{X_{λ}}$ .
$\overset{―}{X_{λ}} = X_{λ}$ であったから, $\forall λ \in Λ, \overset{―}{D} \subset X_{λ}$ . よって $\overset{―}{D} \subset ⋂_{λ \in Λ} X_{λ} = D$ . 一方, (C1) より $D \subset \overset{―}{D}$ なので, $D = \overset{―}{D}$ , すなわち $D$ は closed であって $D = ⋂_{λ \in Λ} X_{λ} \in F$ . 以上より $F$ は Moore family である.
逆に $F$ を $I$ の Moore family とし, $X \subset I$ について $X \subset F_{α} \in F$ の共通集合 $⋂ F_{α}$ を $\overset{―}{X}$ と定義する. $F$ は Moore family で, (i) から $I \in F$ なので少なくともそのような集合は存在する. このように定めた $\overset{―}{X}$ が,
(C1) $X \subset \overset{―}{X}$
(C2) $\overset{―}{\overset{―}{X}} = \overset{―}{X}$
(C3) $X \subset Y \Rightarrow \overset{―}{X} \subset \overset{―}{Y}$
を満たすことを示す.
まず, 任意の $F_{α}$ は $X$ を含むので $X \subset ⋂ F_{α} = \overset{―}{X}$ となり, (C1) が成り立つ.
次に $F_{α}$ を $\overset{―}{X}$ を含む任意の $F$ の元とする. $\overset{―}{X} \in F$ なので $\overset{―}{X} \in {F_{α}}$ . よって $⋂ F_{α} \subset \overset{―}{X}$ , すなわち $\overset{―}{\overset{―}{X}} \subset \overset{―}{X}$ .
最後に $X \subset Y \subset I$ として, $F_{α}$ を $X$ を含む $F$ の元, $E_{β}$ を $Y$ を含む $F$ の元とする.
$\forall E_{β}, Y \subset E_{β}$ より, $Y \subset ⋂ E_{β} \in F$ . $X \subset Y$ であったから $⋂ E_{β} \in {F_{α}}$ . よって $⋂ F_{α} \subset ⋂ E_{β} \Leftrightarrow \overset{―}{X} \subset \overset{―}{Y}$ .
すなわち (C3) が成り立つ. (証明終)

ところでわたしは一般教養(?) として位相論の初歩を学びましたが, 松坂和夫先生の「集合・位相入門」の p.158, 159 にこの閉包作用子について書かれていることに気が付きました. そこでは次のように説明がされています.
$S$ を空でない集合とし, 写像
$c l : P (S) ∋ M \mapsto \overset{―}{M} \in P (S)$
が次の性質を持つとき, $S$ にある位相が導入される.
[K i] $\overset{―}{\emptyset} = \emptyset$
[K ii] $\forall M \in P (S), M \subset \overset{―}{M}$
[K iii] $\forall M, N \in P (S), \overset{―}{M \cup N} = \overset{―}{M} \cup \overset{―}{N}$
[K iv] $\forall M \in P (S), \overset{―}{\overset{―}{M}} = \overset{―}{M}$
このような閉包作用子は Kuratowski の閉包作用子とよばれて, 一方 [K i] が除かれて, [K ii] と [K iv] と,
[K iii'] $\forall M, N \in P (S), M \subset N \Rightarrow \overset{―}{M} \subset \overset{―}{N}$
を満たす閉包作用子のことを Moore の閉包作用子とよびます.
Kuratowski の閉包作用子が位相をなすのに対して, Moore の閉包作用子は先にみたように Moore family という位相の閉集合系の性質を部分的にもつ(弱い?)集合系をなします. ここで疑問なのですが, Moore の閉包作用子は位相をつくることができるのでしょうか. Moore の閉包作用子は台集合 $S$ に対して $\overset{―}{S} = S$ が成り立ちますが, $\overset{―}{\emptyset} = \emptyset$ は成り立つでしょうか. もちろん Kuratowski の閉包作用子については [K i] からそれがいえますが, [K i] を除いた Moore の閉包作用子について, [K i] は成り立つでしょうか.
ただここでは Moore family についてだけ考えればよいので, この疑問はちょっと脇道にそれた質問です.

集合 $I$ に与えられた Moore family $F$ は包含関係において完備束をなす.

$F$ を $I$ の Moore family とし, ${X_{α}}$ をその部分集合とする. 示したいのは, $inf {X_{α}}, sup {X_{α}} \in F$ であること.
まず $inf {X_{α}}$ がなにかというと, $⋂ X_{α}$ である. 丁寧にそのことを示すと, 任意の $X_{α}$ に対して, $⋂ X_{α} \subset X_{α}$ であるから $⋂ X_{α}$ は ${X_{α}}$ の下界である. また, $L \in F$ を ${X_{α}}$ の任意の下界であるとすると, すなわち $\forall X_{α}, L \subset X_{α}$ とすると, 任意の $l \in L$ について $l \in X_{α}, \forall X_{α}$ であって, それはつまり $l \in ⋂ X_{α}$ であるから, $L \subset ⋂ X_{α}$ . よって $⋂ X_{α}$ は ${X_{α}}$ の最大の下界, 下限である. では $inf {X_{α}} = ⋂ X_{α}$ は $F$ に属するだろうか. それは Moore family の定義からいえる;
${X_{α}} \subset F \Rightarrow [\forall X_{α} \in F \Rightarrow ⋂ X_{α} \in F]$
次に $sup {X_{α}}$ について考える. 最初にいうと
$sup_{F} {X_{α}} = \overset{―}{⋃ X_{α}}$
である. 与えられた Moore family $F$ について導入された Moore の閉包作用子 $P (I) ∋ X \mapsto \overset{―}{X} \in P (I)$ の性質から, 任意の $X_{α}$ について,
$X_{α} \subset ⋃ X_{α} \subset \overset{―}{⋃ X_{α}}$
が成り立つから $\overset{―}{⋃ X_{α}}$ は ${X_{α}}$ の上界である. また $U \in F$ を ${X_{α}}$ の上界として
$\overset{―}{⋃ X_{α}} \subset U$
であることを示したい. $\overset{―}{⋃ X_{α}}$ とはなにかというと, 定義から, $⋃ X_{α} \subset F_{λ}$ をみたす $F_{λ} \in F$ の共通集合である;
$\overset{―}{⋃ X_{α}} = ⋂ F_{λ}$
いま $U$ を ${X_{α}}$ の $F$ におけるひとつの上界としたから, 任意の $X_{α}$ に関して $X_{α} \subset U$ であるので, $⋃ X_{α} \subset U$ である. また, $U \in F$ であるので, $U$ は ${F_{λ}}$ のひとつの元であるので, $⋂ F_{λ} \subset U$ が成り立つ. すなわち $\overset{―}{⋃ X_{α}} \subset U$ . つまり $\overset{―}{⋃ X_{α}}$ は ${X_{α}}$ の $F$ における最小の上界, 上限である. また Moore family の定義から明らかに $\overset{―}{⋃ X_{α}} \in F$ である. (*)
以上から $F$ の任意の部分集合 ${X_{α}}$ には上限と下限が存在するので, $F$ は完備束である.(証明終)

(*) これはよくわからなかったのですが, 一般的に $⋃ X_{α} \in F$ であるかどうかはわかりません. ただ, その閉集合 $\overset{―}{⋃ X_{α}}$ はたしかに $F$ の元となります. つまりなにが言いたいかというと, $⋃ X_{α} \notin F$ とか,
$sup_{P (I)} {X_{α}} = ⋃ X_{α} \neq sup_{F} {X_{α}} = \overset{―}{⋃ X_{α}}$
であることがある, ということです.

最後にひとつ疑問なのですが, 集合に入れられた Moore family から導入される Moore の閉包作用子が, 再びつくる Moore family はもとの Moore family と一致するのでしょうか. つまり集合 $I$ の Moore family $F \subset P (I)$ が与えられたとき, $X \in P (I)$ に対するその閉集合 $\overset{―}{X}$ を, $X \subset F_{α}$ をみたす部分集合の共通集合 $⋂ F_{α}$ として定めるときの Moore の閉包作用子 $P (I) ∋ X \mapsto \overset{―}{X} \in P (I)$ について, 集合系 $F^{'} = {X \in P (I) | \overset{―}{X} = X}$ をつくったとして, $F = F^{'}$ か, ということです. これは
$X \in F \Leftrightarrow X = \overset{―}{X}$
であるかとういことで, Moore family という閉集合系っぽい集合系の元は閉集合か, ということにもなります. そう考えてみるとあたりまえというか, そうであってほしいと思いますし, 純粋に証明できると思うのですが, 今日は雨なのでわたしはもう眠ることにします.

起きました. ちょっとわかったような気がします.
$X \in F \Rightarrow \overset{―}{X} = X$
についてなのですが, 問題なのは $X \notin F$ であるときがある, ということです. 整理すると, $F \subset P (I)$ が与える Moore の閉包作用子 $\overset{―}{X}$ というのは $X$ を含む “ $F_{α} \in F$ ” の共通集合のことで, $X$ それ自身が ${F_{α}}$ に入っているか, つまり $X \in F$ かはまだわからない, ということです. しかしもし $X \in F$ なら, $X$ それ自身は $X$ を含む $F$ の元 $F_{α}$ のひとつとなる, つまり $X \in {F_{α}} \subset F$ となるので, 当然 $⋂ F_{α} \subset X$ となり, これはすなわち $\overset{―}{X} \subset X$ を意味します. $X \subset \overset{―}{X}$ は閉包作用子の性質からいえるので $\overset{―}{X} = X$ が成り立ちます. よって,
$X \in F \Rightarrow \overset{―}{X} = X$
が成り立ちます.
逆の
$\overset{―}{X} = X \Rightarrow X \in F$
は次のように簡単に示すことができるとおもいます.
$F_{α} \in F$ を $X$ を含む部分集合とすると, 上でも整理したように $\overset{―}{X} = ⋂ F_{α}$ であって, これがもし $X$ それ自身と等しいなら, $X = ⋂ F_{α}$ を意味して, $F$ は Moore family なのでその定義から $⋂ F_{α} \in F$ , よって $X \in F$ .