大学入試にたまに出てくるあの数列

　大学入試(たとえば2015年の東大とか)にたまに出てくる，

$$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+C}{a_n}(C>0)$$

という形の数列，見覚えありませんか？　実はこの等式を満たす（初期条件が$a_1=\alpha$, $a_2=\beta$の）数列はより簡単な線形漸化式
$$a_{n+2}=p{a}_{n+1}-a_n(p=\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2+C}{\alpha \beta })$$
で定まる数列であることが分かります．今回はこれを示します．

証明

見つけたモン勝ちなので，数列$(u_n)$を
$$u_1=\alpha ,u_2=\beta ,u_{n+2}=p{u}_{n+1}-u_n$$
で定めて等式がなりたつことを言えば OK です．さて$(u_n)$の漸化式を行列表示することで

$$\left(\begin{array}{cc}{u}_{n+2}& u_{n+1}\\ u_{n+1}& u_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}p& -1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n-1}\left(\begin{array}{cc}p\beta -\alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right)$$

を得ます．両辺の行列式をとることで
$$u_{n+2}{u}_n=u_{n+1}^2+C$$
となり，$u_n\not\equiv 0$なので$(u_n)$が等式
$$u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+C}{u_n}$$

を満たすことが分かります．