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大学数学基礎解説
文献あり

Donoho-Starkの不確定性原理

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Fourier解析には不確定性原理というものが存在します。最も有名なのはHeisenbergの不確定性原理でしょう:

Heisenbergの不確定性原理

fS(R)に対して, fF[f]12が成り立つ.

この記事では以下の定義のFourier変換を採用します:
F[f](ξ)=f(x)eixξdx.

この定理が言わんとしていることは「関数の時間周波数窓の本質的面積は4×1/2=2以下にできない」ということです. より詳しいことは適切な参考文献を見てください.

このような時間周波数的局在性の限界を示す不等式は総じて不確定性原理(Uncertainty Principle)と呼ばれます. なお, 上記は量子力学の不確定性原理と本質的に同一のものです.

今回はそんな不確定性原理の中でも一際ユニークなものを紹介します. 最初に少し抽象的な定義を1つ準備しましょう.

ε-集中

測度空間(X,A,μ)上の可測関数fLp(X) (1p)TAε-集中(ε-concentrated)であるとは,
fLp(Tc)εfLp(X)
を満たすことである.

εが十分小さいとき, fの情報はT上に存在することが分かります. 特に, ε=0ならばTは実際にfのサポートです. さて, Rn上の関数に戻りましょう.

Donoho-Starkの不確定性原理

fL2(Rn)とし, f0を仮定する. fは可測集合TεT-集中かつF[f]は可測集合ΩεΩ-集中ならば,
|T||Ω|(2π)n(1εTεΩ)2
が成り立つ.

T,Ωの測度は有限と仮定してよい. f,F[f]に対して, L2(Rn)の直交射影作用素を以下のように定める:
PTf=χTf,QΩf=F1[χΩF[f]].
すると, ε-集中の仮定はPlancherelの定理より,
fPTfL2(Rn)εTfL2(Rn),
fQΩfL2(Rn)=1(2π)nF[f]L2(Ωc)1(2π)nεΩF[f]L2(Rn)=εΩfL2(Rn)
と書き直せる. QΩop1であるので,
fQΩPTfL2(Rn)fQΩfL2(Rn)+QΩfQΩPTfL2(Rn)fQΩfL2(Rn)+fPTfL2(Rn)(εΩ+εT)fL2(Rn)
が成り立つ. 故に,
QΩPTfL2(Rn)fL2(Rn)fQΩPTfL2(Rn)(1εTεΩ)fL2(Rn)
を一先ず得る.

ここで, T,Ωの測度は有限であるから, fL2(T)L1(T)が成り立つ. 従って, Fubiniの定理により,
QΩPTf(x)=F1[χΩPTf^](x)=1(2π)nΩ(Tf(y)eiyξdy)eixξdξ=TΩf(y)1(2π)nei(xy)ξdξdy=Rnf(y)(χT(y)1(2π)nΩei(xy)ξdξ)dy=Rnf(y)K(x,y)dy
と, QΩPTを積分作用素の形で表現できる. 積分核Kは以下のように定義した:
K(x,y)=χT(y)Ty[Fξx1[χΩ]](x,y).
今, Lebesgue測度の平行移動不変性とPlancherelの定理から,
RnRn|K(x,y)|2dxdy=RynRxn|χT(y)Ty[Fξx1[χΩ]](x,y)|2dxdy=RynχT(y)(Rxn|Ty[Fξx1[χΩ]](x,y)|2dx)dy=RynχT(y)(1(2π)nRxnχΩ(x)dx)dy=1(2π)n|T||Ω|<
が成り立つので, 上の積分順序変更は許可され, QΩPTはHilbert-Schmidt型の積分作用素であることが分かる. 故に,
QΩPTop2QΩPTH.S2=1(2π)n|T||Ω|
を得る. このことから,
fL2(Rn)(1(2π)n|T||Ω|)12QΩPTopfL2(Rn)QΩPTfL2(Rn)(1εTεΩ)fL2(Rn),
|T||Ω|(2π)n(1εTεΩ)2
となって, 証明完了.

次が自然に得られます.

fL2(Rn)に対し, suppf=TかつsuppF[f]=Ωならば, |T||Ω|(2π)nが成り立つ.

参考にした文献ではユニタリーな周波数型のFourier変換を採用しており, この場合の下限は1となります.

参考文献

[1]
D. L. Donoho, P. B. Stark, Uncertainty principles and signal recovery, SIAM J. Appl. Math., 1989
[2]
K. Gröchenig, Foundations of time-frequency analysis, Birkhäuser, 2001
投稿日:202178
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