Donoho-Starkの不確定性原理

Fourier解析,時間周波数解析

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Fourier解析には不確定性原理というものが存在します。最も有名なのはHeisenbergの不確定性原理でしょう:

Heisenbergの不確定性原理

$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$に対して, $\triangle f\triangle\mathcal{F}[f]\ge\frac{1}{2}$が成り立つ.

この記事では以下の定義のFourier変換を採用します:
$$ \mathcal{F}[f](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}dx. $$

この定理が言わんとしていることは「関数の時間周波数窓の本質的面積は$4\times 1/2=2$以下にできない」ということです. より詳しいことは適切な参考文献を見てください.

このような時間周波数的局在性の限界を示す不等式は総じて不確定性原理(Uncertainty Principle)と呼ばれます. なお, 上記は量子力学の不確定性原理と本質的に同一のものです.

今回はそんな不確定性原理の中でも一際ユニークなものを紹介します. 最初に少し抽象的な定義を1つ準備しましょう.

$\varepsilon$-集中

測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$上の可測関数$f\in L^p(X)\ (1\le p \le\infty)$が$T\in \mathcal{A}$に$\varepsilon$-集中($\varepsilon$-concentrated)であるとは,
$$ \|f\|_{L^p(T^c)}\le \varepsilon \| f\|_{L^p(X)} $$
を満たすことである.

$\varepsilon$が十分小さいとき, $f$の情報は$T$上に存在することが分かります. 特に, $\varepsilon=0$ならば$T$は実際に$f$のサポートです. さて, $\mathbb{R}^n$上の関数に戻りましょう.

Donoho-Starkの不確定性原理

$f\in L^2(\mathbb{R}^n)$とし, $f\neq 0$を仮定する. $f$は可測集合$T$に$\varepsilon_T$-集中かつ$\mathcal{F}[f]$は可測集合$\Omega$に$\varepsilon_\Omega$-集中ならば,
$$ |T||\Omega|\ge (2\pi)^n(1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega)^2 $$
が成り立つ.

$T,\Omega$の測度は有限と仮定してよい. $f,\mathcal{F}[f]$に対して, $L^2(\mathbb{R}^n)$の直交射影作用素を以下のように定める:
$$ P_Tf=\chi_T f,\qquad Q_\Omega f=\mathcal{F}^{-1}[\chi_\Omega \mathcal{F}[f]]. $$
すると, $\varepsilon$-集中の仮定はPlancherelの定理より,
$$ \|f-P_T f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\le \varepsilon_T \| f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}, $$
$$ \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\frac{1}{(2\pi)^n}\| \mathcal{F}[f]\|_{L^2(\Omega^c)}\le \frac{1}{(2\pi)^n}\varepsilon_\Omega \|\mathcal{F}[f]\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\varepsilon_\Omega \| f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} $$
と書き直せる. $\|Q_\Omega\|_{{\rm op}}\le 1$であるので,
$$ \begin{split} \|f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}&\le \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\|Q_\Omega f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\le \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\| f- P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\le (\varepsilon_\Omega+ \varepsilon_T)\|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \end{split} $$
が成り立つ. 故に,
$$ \|Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\ge \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}-\|f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\ge (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega) \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} $$
を一先ず得る.

ここで, $T,\Omega$の測度は有限であるから, $f\in L^2(T)\subset L^1(T)$が成り立つ. 従って, Fubiniの定理により,
$$ \begin{split} Q_\Omega P_Tf(x)&=\mathcal{F}^{-1}[\chi_\Omega \widehat{P_Tf}](x)\\ &=\frac{1}{(2\pi )^n}\int_\Omega \left(\int_Tf(y)e^{-iy\xi}dy \right)e^{i x \xi}d\xi\\ &= \int_T \int_\Omega f(y) \frac{1}{(2\pi )^n}e^{i (x-y) \xi}d\xi dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n} f(y) \left( \chi_T(y)\frac{1}{(2\pi )^n}\int_\Omega e^{i (x-y) \xi}d\xi \right)dy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) K(x,y) dy\\ \end{split} $$
と, $Q_\Omega P_T$を積分作用素の形で表現できる. 積分核$K$は以下のように定義した:
$$ K(x,y)=\chi_T(y)\cdot\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y). $$
今, Lebesgue測度の平行移動不変性とPlancherelの定理から,
$$ \begin{split} \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} |K(x,y)|^2 dxdy&=\int_{\mathbb{R}^n_y}\int_{\mathbb{R}^n_x} |\chi_T(y)\cdot\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y)|^2 dxdy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n_y}\chi_T(y)\left(\int_{\mathbb{R}^n_x} |\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y)|^2 dx\right) dy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n_y}\chi_T(y)\left(\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n_x}\chi_\Omega (x) dx\right) dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega|<\infty \end{split} $$
が成り立つので, 上の積分順序変更は許可され, $Q_\Omega P_T$はHilbert-Schmidt型の積分作用素であることが分かる. 故に,
$$ \|Q_\Omega P_T\|^2_{{\rm op}}\le \|Q_\Omega P_T\|^2_{{\rm H.S}}=\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega| $$
を得る. このことから,
$$ \begin{split} \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\left(\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega|\right)^\frac{1}{2}&\ge \|Q_\Omega P_T\|_{{\rm op}} \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\ge \|Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\ge (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega) \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}, \end{split} $$
$$ \Longrightarrow\quad |T||\Omega| \ge (2\pi)^n (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega)^2 $$
となって, 証明完了.