Donoho-Starkの不確定性原理

$T,\Omega$の測度は有限と仮定してよい. $f,\mathcal{F}[f]$に対して, $L^2(\mathbb{R}^n)$の直交射影作用素を以下のように定める:
$$ P_Tf=\chi_T f,\qquad Q_\Omega f=\mathcal{F}^{-1}[\chi_\Omega \mathcal{F}[f]]. $$
すると, $\varepsilon$-集中の仮定はPlancherelの定理より,
$$ \|f-P_T f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\le \varepsilon_T \| f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}, $$
$$ \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\frac{1}{(2\pi)^n}\| \mathcal{F}[f]\|_{L^2(\Omega^c)}\le \frac{1}{(2\pi)^n}\varepsilon_\Omega \|\mathcal{F}[f]\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\varepsilon_\Omega \| f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} $$
と書き直せる. $\|Q_\Omega\|_{{\rm op}}\le 1$であるので,
$$ \begin{split} \|f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}&\le \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\|Q_\Omega f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\le \|f-Q_\Omega f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\| f- P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\le (\varepsilon_\Omega+ \varepsilon_T)\|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \end{split} $$
が成り立つ. 故に,
$$ \|Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\ge \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}-\|f-Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\ge (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega) \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} $$
を一先ず得る.

ここで, $T,\Omega$の測度は有限であるから, $f\in L^2(T)\subset L^1(T)$が成り立つ. 従って, Fubiniの定理により,
$$ \begin{split} Q_\Omega P_Tf(x)&=\mathcal{F}^{-1}[\chi_\Omega \widehat{P_Tf}](x)\\ &=\frac{1}{(2\pi )^n}\int_\Omega \left(\int_Tf(y)e^{-iy\xi}dy \right)e^{i x \xi}d\xi\\ &= \int_T \int_\Omega f(y) \frac{1}{(2\pi )^n}e^{i (x-y) \xi}d\xi dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n} f(y) \left( \chi_T(y)\frac{1}{(2\pi )^n}\int_\Omega e^{i (x-y) \xi}d\xi \right)dy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) K(x,y) dy\\ \end{split} $$
と, $Q_\Omega P_T$を積分作用素の形で表現できる. 積分核$K$は以下のように定義した:
$$ K(x,y)=\chi_T(y)\cdot\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y). $$
今, Lebesgue測度の平行移動不変性とPlancherelの定理から,
$$ \begin{split} \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} |K(x,y)|^2 dxdy&=\int_{\mathbb{R}^n_y}\int_{\mathbb{R}^n_x} |\chi_T(y)\cdot\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y)|^2 dxdy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n_y}\chi_T(y)\left(\int_{\mathbb{R}^n_x} |\mathcal{T}_y[\mathcal{F}^{-1}_{\xi\to x}[\chi_\Omega] ](x,y)|^2 dx\right) dy\\ &=\int_{\mathbb{R}^n_y}\chi_T(y)\left(\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n_x}\chi_\Omega (x) dx\right) dy\\ &=\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega|<\infty \end{split} $$
が成り立つので, 上の積分順序変更は許可され, $Q_\Omega P_T$はHilbert-Schmidt型の積分作用素であることが分かる. 故に,
$$ \|Q_\Omega P_T\|^2_{{\rm op}}\le \|Q_\Omega P_T\|^2_{{\rm H.S}}=\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega| $$
を得る. このことから,
$$ \begin{split} \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\left(\frac{1}{(2\pi)^n}|T||\Omega|\right)^\frac{1}{2}&\ge \|Q_\Omega P_T\|_{{\rm op}} \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\ge \|Q_\Omega P_Tf\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\ge (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega) \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}, \end{split} $$
$$ \Longrightarrow\quad |T||\Omega| \ge (2\pi)^n (1-\varepsilon_T-\varepsilon_\Omega)^2 $$
となって, 証明完了.