初めての記事作成

Texなどで記事作成の経験がないためΣや分数表記がおかしかったりうまく改行できてなかったりと見づらかったりすると思います。また、私は数強の方達とは違って数学を極めているわけでもないので誤ったことを書いてしまうかもしれないです。その時は指摘していただけるとうれしいです。

問題

問.次の無限級数を求めよ。ただし、$|r|≠1$ とする。

$$ \lim_{n \to \infty} { \sum_{k=1}^{n} \frac{r^{2^{k-1}}}{1-r^{2^k}} } $$

出典は東京大学からである。なぜこれを解説するかというと、私が背伸びして難関大学の問題で解けそうと思った問題を解いていた時期に解いた問題のうち何故か特に覚えているからである。

解く前に

まず与式の分母と分子両方に$k$を含む指数が絡んでいて直接計算は現実的ではないため工夫して変形をしていく必要がある。$Σ$の計算するにあたって工夫する式変形と言えば部分分数分解が思い浮かぶと思う。果たして今回はうまく部分分数分解できるのだろうか。それともこの問題特有の式変形が必要なのだろうか。

解答

$|r|≠1$ のとき、

$$ \frac{r^{2^{k-1}}}{1-r^{2^k}} = \frac{1}{1-r^{2^{k-1}}} - \frac{1}{1-r^{2^k}} $$

が成り立つので

$$ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} { \sum_{k=1}^{n} \frac{r^{2^{k-1}}}{1-r^{2^k}} } &=& \lim_{n \to \infty} { \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{1-r^{2^{k-1}}} - \frac{1}{1-r^{2^k}}) } \\&=& \lim_{n \to \infty} { \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{1-r} - \frac{1}{1-r^{2^n}}) } \end{eqnarray} $$

となる。$|r|>1$ のとき

$$ \lim_{n \to \infty}{ \frac{1}{1-r^{2^n}} } = 0 $$

であり、$|r|<1$ のとき

$$ \lim_{n \to \infty}{ \frac{1}{1-r^{2^n}} } = 1 $$

であるから求める無限級数は

$ \dfrac{r^{2^{k-1}}}{1-r^{2^k}} = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{1-r}　|r|>1　\\ \frac{r}{1-r}　|r|<1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $

解説

先程も述べた通り直接計算ができないため工夫する必要がある。そのため

$$ \frac{r^{2^{k-1}}}{1-r^{2^k}} = \frac{1}{1-r^{2^{k-1}}} - \frac{1}{1-r^{2^k}} $$

という変形を用いた。この式変形という第一ステップこそがこの問題の鬼門である。では、なぜこの変形が思い浮かぶのだろうか。これは

$$ \frac{r}{1-r^2}=\frac{1}{1-r} - \frac{1}{1-r^2} \\ \frac{r^2}{1-r^4} = \frac{1}{1-r^2} - \frac{1}{1-r^4} $$

という指数が具体的な変形から来ている。この変形を用いることで$Σ$の中身を指数が1ズレただけの2つの分数の差に書き直すことができ、部分分数分解のように最初と最後の項以外が打ち消し合って簡単な形になるのである。