数列の極限の基礎

$ε - N 論法$

数列 ${a_{n}}$ が $n \to \infty$ で $α$ に収束するとは
$\forall ε > 0, \exists N \in N [n > N \Rightarrow | a_{n} - α | < ε]$ が成立することである。またこの時
$lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ と書く。

例えば $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ (ただし数列の意味)は次のように示される。

$\forall ε > 0, \exists N \in N [n > N \Rightarrow | \frac{1}{n^{2}} | < ε]$ が成立することを示せばよい.
そのためには $ε$ 毎に適当な $N$ を持ってこれることを示すのである. $| \frac{1}{n^{2}} | < ε \Leftrightarrow | n | > \frac{1}{\sqrt{ε}}$
であるので例えば $N = ⌈ \frac{1}{\sqrt{ε}} ⌉$ とすればよい.従って先の命題は成立する.
即ち $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ である. $◻$

このようにして証明するのである。さて、極限について次の性質が成立する。

極限の性質

$k, l は n に依存しない定数, lim_{n \to \infty} a_{n} = α, lim_{n \to \infty} b_{n} = β とする . この時 lim_{n \to \infty} (k a_{n} + l b_{n}) = k α + l β また, b_{n} \neq 0, β \neq 0 の時 lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{α}{β}$

上の方を示す.仮定より
$\forall ε_{a} > 0, \exists N_{a} (ε_{a}) \in N [n > N_{a} \Rightarrow | a_{n} - α | < ε_{a}] \forall ε_{b} > 0, \exists N_{b} (ε_{b}) \in N [n > N_{b} \Rightarrow | b_{n} - β | < ε_{b}]$
が成立する.ここで $n > max (N_{a}, N_{b})$ とすると
$\begin{array}{rcl} | k a_{n} + l b_{n} - (k α + l β) | & = & | k (a_{n} - α) + l (b_{n} - β) | \\ \leq & | k | | a_{n} - α | + | l | | b_{n} - β | \\ < & | k | ε_{a} + | l | ε_{b} \end{array}$
である.ここで $N = max (N_{a}, N_{b}), ε = | k | ε_{a} + | l | ε_{b}$ とすると $ε$ を決める→ $ε_{a}$ と $ε_{b}$ が決められる→これから $N$ が定まるので
$\forall ε > 0, \exists N \in N [n > N \Rightarrow | k a_{n} + l b_{n} - (k α + l β) | < ε]$
が成立する.即ち $lim_{n \to \infty} (k a_{n} + l b_{n}) = k α + l β$ が成立する. $◻$