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数列の極限の基礎

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\varepsilon-N論法$

数列$\{a_n\}$$n\to\infty$$\alpha$に収束するとは
$$\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow|a_n-\alpha|<\varepsilon\biggr]$$が成立することである。またこの時
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$$と書く。

例えば$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$(ただし数列の意味)は次のように示される。

$\displaystyle\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow\left|\frac1{n^2}\right|<\varepsilon\biggr]$が成立することを示せばよい.
そのためには$\varepsilon$毎に適当な$N$を持ってこれることを示すのである.$\displaystyle\left|\frac1{n^2}\right|<\varepsilon\Leftrightarrow |n|>\frac1{\sqrt\varepsilon}$
であるので例えば$\displaystyle N=\left\lceil\frac1{\sqrt\varepsilon}\right\rceil$とすればよい.従って先の命題は成立する.
即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$である.$\Box$

このようにして証明するのである。さて、極限について次の性質が成立する。

極限の性質

$\displaystyle k,lはnに依存しない定数,\,\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta とする.この時\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta\\また,\,b_n\neq0,\,\beta\neq0の時\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac\alpha\beta$

上の方を示す.仮定より
$\displaystyle\forall\varepsilon_a>0,\,\exists N_a(\varepsilon_a)\in\N\,\bigg[n>N_a\Rightarrow|a_n-\alpha|<\varepsilon_a\biggr]\\\displaystyle\forall\varepsilon_b>0,\,\exists N_b(\varepsilon_b)\in\N\,\bigg[n>N_b\Rightarrow|b_n-\beta|<\varepsilon_b\biggr]$
が成立する.ここで$n>\max(N_a,N_b)$とすると
$\begin{eqnarray*} |ka_n+lb_n-(k\alpha+l\beta)|&=&|k(a_n-\alpha)+l(b_n-\beta)|\\ &\leq&|k||a_n-\alpha|+|l||b_n-\beta|\\ &<&|k|\varepsilon_a+|l|\varepsilon_b \end{eqnarray*}$
である.ここで$N=\max(N_a,N_b),\,\varepsilon=|k|\varepsilon_a+|l|\varepsilon_b$とすると$\varepsilon$を決める→$\varepsilon_a$$\varepsilon_b$が決められる→これから$N$が定まるので
$\displaystyle\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow|ka_n+lb_n-(k\alpha+l\beta)|<\varepsilon\biggr]$
が成立する.即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$が成立する.$\Box$

下の方も同じようなものなので証明を略す。

投稿日:2020117

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