数列の極限の基礎
$\varepsilon-N論法$
数列$\{a_n\}$が$n\to\infty$で$\alpha$に収束するとは
$$\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow|a_n-\alpha|<\varepsilon\biggr]$$が成立することである。またこの時
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$$と書く。
例えば$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$(ただし数列の意味)は次のように示される。
$\displaystyle\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow\left|\frac1{n^2}\right|<\varepsilon\biggr]$が成立することを示せばよい.
そのためには$\varepsilon$毎に適当な$N$を持ってこれることを示すのである.$\displaystyle\left|\frac1{n^2}\right|<\varepsilon\Leftrightarrow |n|>\frac1{\sqrt\varepsilon}$
であるので例えば$\displaystyle N=\left\lceil\frac1{\sqrt\varepsilon}\right\rceil$とすればよい.従って先の命題は成立する.
即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$である.$\Box$
このようにして証明するのである。さて、極限について次の性質が成立する。
$\displaystyle k,lはnに依存しない定数,\,\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta とする.この時\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta\\また,\,b_n\neq0,\,\beta\neq0の時\\\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac\alpha\beta$
上の方を示す.仮定より
$\displaystyle\forall\varepsilon_a>0,\,\exists N_a(\varepsilon_a)\in\N\,\bigg[n>N_a\Rightarrow|a_n-\alpha|<\varepsilon_a\biggr]\\\displaystyle\forall\varepsilon_b>0,\,\exists N_b(\varepsilon_b)\in\N\,\bigg[n>N_b\Rightarrow|b_n-\beta|<\varepsilon_b\biggr]$
が成立する.ここで$n>\max(N_a,N_b)$とすると
$\begin{eqnarray*}
|ka_n+lb_n-(k\alpha+l\beta)|&=&|k(a_n-\alpha)+l(b_n-\beta)|\\
&\leq&|k||a_n-\alpha|+|l||b_n-\beta|\\
&<&|k|\varepsilon_a+|l|\varepsilon_b
\end{eqnarray*}$
である.ここで$N=\max(N_a,N_b),\,\varepsilon=|k|\varepsilon_a+|l|\varepsilon_b$とすると$\varepsilon$を決める→$\varepsilon_a$と$\varepsilon_b$が決められる→これから$N$が定まるので
$\displaystyle\forall\varepsilon>0,\,\exists N\in\N\,\bigg[n>N\Rightarrow|ka_n+lb_n-(k\alpha+l\beta)|<\varepsilon\biggr]$
が成立する.即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$が成立する.$\Box$
下の方も同じようなものなので証明を略す。