基礎数学IV. 最適化数学（東京化学同人）の誤植と思われる箇所について

p.72 補題2.3.19について

Woodburyの恒等式

$A\in G{L}_n(K),B\in M_{n,k}(K),C\in M_{k,n}(K),D\in G{L}_k(K)$に対し
$$(A+BDC{)}^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1}+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}$$特に$D=I$のとき，
$$\begin{array}{}\text{(1)}& (A+BC{)}^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(I+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}\end{array}$$

(証明) 掛け算をして単位行列になることを確認するだけで良い．
$$\begin{array}{c}(A+BDC)\{A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1}+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}\}\\ =I+BDC{A}^{-1}-B(D^{-1}+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}-BDC{A}^{-1}B(D^{-1}+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}\\ =I+BDC{A}^{-1}-BD(D^{-1}+C{A}^{-1}B)(D^{-1}+C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}\\ =I+BDC{A}^{-1}-BDC{A}^{-1}=I\end{array}$$

該当箇所について

今回私たちが取り組んでいるのは$D=1$(スカラ)，$k=1$の場合だから (1) において$B=\mathbf{u},C={\mathbf{v}}^T$とすることで
$$\begin{array}{rcl}(A+\mathbf{u}1{\mathbf{v}}^T{)}^{-1}& =& A^{-1}-A^{-1}\mathbf{u}(1+{\mathbf{v}}^T{A}^{-1}\mathbf{u}{)}^{-1}{\mathbf{v}}^T{A}^{-1}\\ & =& A^{-1}-\frac{A^{-1}\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T{A}^{-1}}{1+{\mathbf{v}}^T{A}^{-1}\mathbf{u}}\end{array}$$

(参考)

より一般に$D$が正則でないときには
http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/g.ridgway/mil/mil.pdf
が使える