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ピタゴラスの三角形の原始解について

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目次

  • ピタゴラスの三角形とは?

  • 原始解について

  • ピタゴラスの三角形の原始解とその導出

ピタゴラスの三角形とは?

各辺が自然数の直角三角形
 すなわち,かの有名な三平方の定理
$$x^2+y^2=z^2 \,\,\,\, \cdots (1)$$ の自然数解のことを指します.

原始解について

例えば, (1)の方程式の自然数解として, $(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)$があげられますが,$(x,y,z)=(6,8,10),(15,36,39)$も(1)の解となっています.
つまり,$(x,y,z)$が(1)の方程式の解ならば,0でない整数$c$を用いた$(cx,cy,cz)$も解となっています.このような$(cx,cy,cz)$の形の解は$(x,y,z)$と同じものであるとみなして考えます.

原始解

方程式の自然数解$(x,y,z)$について$x,y,z$がどの2つとも互いに素であるとき,
 $(x,y,z)$原始解という.

互いに素

整数$a,b$が互いに素であるとは$a$$b$の最大公約数$d$$1$のことである.
 また,最大公約数は記号で$d=(a,b)$と表す.

ピタゴラスの三角形の原始解とその導出

さて,ピタゴラスの三角形と原始解の意味を説明したので,いよいよピタゴラスの三角形の原始解を導出してみましょう.
まずその前に導出に使うもの(記号,定理etc)を説明します.

合同式

$0$でない整数$m$を固定して,$a,b$を整数とする.
 $a-b$$m$の倍数であるとき,$a$$b$と法$m$で合同であるといい,
 $a\equiv b\,(\text{mod}\,m)$で表す.

$a$が奇数のとき,$a^2\equiv 1\,(\text{mod}\,4)$であり,$a$が偶数のとき,$a^2\equiv 0\,(\text{mod}\,4)$である.

$a$が奇数のとき,整数$k$を用いて$a=2k+1$と表せる.$$\begin{align}a^2&=(2k+1)^2\\&=4k^2+4k+1\\&=4(k^2+k)+1\\&\equiv 1\,(\text{mod}\,4)\end{align}$$ $a$が偶数のとき,整数$k$を用いて$a=2k$と表せる.$$\begin{align}a^2&=(2k)^2\\&=4k^2\\&\equiv 0\,(\text{mod}\,4)\end{align}$$ 以上より,この合同式は成り立つ.$\Box$

平方数のになる条件

$a>0,b>0,(a,b)=1$のとき,積$ab$が平方数となる必要十分条件は$a,b$がともに平方数であることである.

必要性は明らかであるので,十分性を示す.
$(a,b)=1$より,$a,b$は共通の素因数をもたない.ここで積$ab$が平方数となるとき$ab=m^2$であるから$m$に含まれるすべての素因数の指数は偶数である.
ここで,$a$の素因数のうち,指数が奇数である素因数を$p$とすると,$b$にも素因数$p$が奇数個含まれるはずであるが,これは$(a,b)=1$に矛盾する.
以上より,題意は示された.$\Box$

ピタゴラスの三角形の原始解

$(x,y,z)$を(1)の方程式の原始解とする.このとき,$x,y$のいずれか一方は奇数で,その他は奇数である.$x$が奇数のとき,解の形は以下のようになる.
$$x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2$$ ここで,$a,b$は以下の条件を満たす.
$$a>b>0,(a,b)=1,a-b\equiv 1\,(\text{mod}\,2)$$ また,逆にこれを満たす$(x,y,z)$は(1)の方程式の原始解である.

$(x,y,z)$は原始解なので,$x,y$ともに偶数もありえない.また,ともに奇数でもない.そうだとすると,補題1より,$x^2+y^2\equiv 2\,(\text{mod}\,4)$であるが,$z^2\equiv 0,1\,(\text{mod}\,4)$ となるので,矛盾.よって,$x$を奇数,$y$を偶数としてよい.(1)を変形すると,
$$\frac{z+x}2\cdot\frac{z-x}2=\left(\frac y2\right)^2$$ となる.$z$は奇数なので,この3つの項はすべて整数である.もし,
$$d=\left(\frac{z+x}2,\frac{z-x}2\right)$$ ならば,
$$\frac{z+x}2,\frac{z-x}2$$ はともに$d$の倍数である.よって,
$$x=\frac{z+x}2-\frac{z-x}2,z=\frac{z+x}2+\frac{z-x}2$$ もともに$d$の倍数である.$(x,z)=1$より,$d=1$でなければならない.
ここで,補題2より,
$$\frac{z+x}2=a^2,\frac{z-x}2=b^2$$とかける.ここで,$a>b>0$は明らかである.また,$x=a^2-b^2,z=a^2+b^2$であって,$y=2ab$である.$d=1$であるから,$(a^2,b^2)=1$なので,$(a,b)=1$である.
また,$a-b\equiv 1\,(\text{mod}\,2)$も明らかである.そうでないなら,$a,b$の偶奇が一致し,$x,y$がともに偶数となり,$(x,y)=1$に反する.
逆に,$a>b>0,a-b\equiv 1\,(\text{mod}\,2),(a,b)=1$を満たし,
$$x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2$$を満たすならば,$(x,y,z)$は(1)の方程式の原始解であって,$x,z$は奇数である.
$d'=(x,z)$ならば,$x,z$$d'$の倍数なので,$z+x=2a^2,z-x=2b^2$$d'$の倍数である.ここで,$d'$は奇数であるから,$a^2,b^2$はともに$d'$の倍数である.ここで,$(a,b)=1$であるとき$d'=1$でなければならないので,$(x,y,z)$が原始解であることが示された.$\Box$

初めての記事で不慣れなため,間違い等あるかもしれません.
 もしありましたら遠慮なくお申し付けください.
 また,今後もこういった記事を書き続けようと思います.
 ですので,たくさんの方に見てくれるととても嬉しいです.

投稿日:2020117

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投稿者

LAMZAOO
LAMZAOO
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名大理学部1年のLAMZAOO(らむぞー)です 数理学科志望で今は授業で線形代数と微積をやってて,個人的に解析,数論,統計を勉強しています(のちに代数もやりたいと思ってる) 記事の更新頻度はまちまちだと思いますがよければゆっくりみてくれると嬉しいです Twitterもやってるのでフォローしていただけると嬉しいです

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