文献あり

群の拡大の分類について（群コホモロジー）

1875

この記事は、群 $N$ と群 $G$ について、 $N$ の $G$ による拡大を分類する。つまり、次のような完全系列の分類である：
$1 \to N \to \hat{G} \overset{π}{\to} G \to 1.$
単射 $N \to \hat{G}$ によって $N$ を $\hat{G}$ の正規部分群と思える。このとき、 $g \in \hat{G}$ は共役 $n \mapsto g n g^{- 1}$ で $N$ に作用する。

（以下では、全ての群を有限とする。）

分裂する完全系列

これが最も簡単な場合である。

分裂する完全系列

完全系列 $1 \to N \to \hat{G} \overset{π}{\to} G \to 1$ が分裂するとは、 $π$ の切断 $s : G \to \hat{G}$ が存在することである。ここで切断とは群準同型 $s$ であって $π \circ s = {id}_{G}$ となるものである。

このような切断があるとき、 $\hat{G}$ の $N$ への作用から準同型 $s$ によって誘導される $G$ の $N$ への作用がある。つまり、 $g \in G$ の $N$ への作用を $n \mapsto s (g) n s (g)^{- 1}$ によって定める。
よく知られているように、次が成り立つ：

$1 \to N \to \hat{G} \overset{π}{\to} G \to 1$ を切断 $s$ を持つ完全系列として、 $φ : G \to Aut (N)$ を誘導される $G$ の $N$ への作用とする。このとき、この完全系列は完全系列 $1 \to N \to N ⋊_{φ} G \to G \to 1$ と同型である。

この命題によって、 $N$ の $G$ による分裂する拡大 $\hat{G}$ を定めることは $G$ の $N$ への作用を決めることと同値であることがわかる。ここで、半直積 $N ⋊_{φ} G$ は以下のように定義される：

半直積

$G, N$ を群として $φ : G \to Aut (N)$ を群準同型とする。このとき、 $N ⋊_{φ} G$ を集合としては $N \times G$ として、演算を以下のように定義する：

$n, n^{'} \in N$ と $g, g^{'} \in G$ に対して、 $(n, g) * (n^{'}, g^{'}) := (n \cdot^{g} n^{'}, g g^{'})$ 。ここで、 $^{g} n^{'}$ は $(ϕ (g)) (n^{'})$ のこと。

ここで、残る質問は $G$ の $N$ への作用が与えられたとき、完全系列 $1 \to N \to N ⋊ G \to G \to 1$ の切断 $s$ の分類である。簡単のため、以下では $N$ をアーベル群とする。このとき、定義より分裂は $s (g) = (d g, g)$ の形になっている。 $s (g h) = s (g) s (h)$ とならなければならないので、計算してみると関係 $d (g h) = d g \cdot^{g} d h$ を得る。

二つの分裂 $s_{1}, s_{2}$ が $N$ -共役であるとは、 $n \in N$ が存在して、 $s_{1} (g) = n s_{2} (g) n^{- 1}$ となることである。これを計算すると、 $d_{1} g = d_{2} g \cdot a^{g} a^{- 1}$ となる。つまり、分裂の共役類と群コホモロジー $H^{1} (G, N)$ の元が対応する。つまり：

分裂する完全系列の分類

分裂する完全系列 $1 \to N \to \hat{G} \to G \to 1$ は $G$ の $N$ への作用で一意に決まる。そして、 $N$ がアーベル群のときは、 $N$ は $G$ -加群になり、分裂 $s : G \to \hat{G}$ の共役類は１次のコホモロジー群 $H^{1} (G, N)$ の元と一対一対応する。

余談

$H^{1} (G, N)$ には以下の考え方もある：

N

-torsor

$G$ -集合 $X$ に対して、 $N$ -torsorとは、 $X$ への $N$ の左作用で、以下を満たすものである：

任意の $x, y \in X$ に対して、ただ一つの $n \in N$ が存在して、 $y = x n$ となる。(正則)
任意の $x \in X$ 、 $n \in N$ 、 $g \in G$ に対して、 $^{g} (x n) =^{g} x^{g} n$ 。（ $G$ の作用と可換）

ここで、 $N$ の $X$ への作用は正則であることから、集合として $X ≅ N$ である。つまり、 $N$ -torsor $X$ とは、 $N$ に「変わった」 $G$ の作用を定めることであると考えれる。

$N$ -torsorの同型類の集合を $T O R S (N)$ と記す。このとき、次が成り立つ：

点付き集合の全単射 $H^{1} (G, N) ≅ T O R S (N)$ がある。

$X$ を $N$ -torsorとして、 $x \in X$ を固定する。すると、 $g \in G$ に対して、 $n_{g} \in N$ が存在して、 $^{g} x = x n_{g}$ となる。 $n_{g} \in H^{1} (G, N)$ であることがわかる。 $x$ を $x b$ で置き換えると、 $n_{g}$ が $b^{- 1} n_{g}^{g} b$ に置き換わるので、良い。

逆に、 $n_{g} \in H^{1} (G, N)$ とする。 $X$ を集合として $N$ として、 $G$ の作用を ${^{g}}^{'} x := n_{g} \cdot^{g} x$ で定義する。そして、 $N$ の作用を普通の掛け算による左作用とする。すると、 $X$ が $N$ -torsorになり、同型類は $H^{1} (G, N)$ の元の代表元の選び方によらない。

つまり、こうなる：

$G$ -加群 $N$ に対して、以下が一対一対応する：

$H^{1} (G, N)$ の元。
$N$ -torsorの同型類。
完全系列 $1 \to N \to N ⋊ G \to G \to 1$ の切断。

ここで、切断 $s : G \to N ⋊ G$ が与えられたとき、対応する $N$ -torsorは集合論的射影 $N ⋊ G \to N$ を $p$ と書くと、集合 $N$ に $G$ -作用を ${^{g}}^{'} n := p (s (g) \cdot (n, 1))$ で定まることで決まる。

分裂しない完全系列

今後は、一般の完全系列について見ていくが、引き続き $N$ はアーベルであると仮定する。ここで、群の完全系列 $1 \to N \to \hat{G} \overset{π}{\to} G \to 1$ があるが、以前と同様に、 $N$ に共役によって $\hat{G}$ -作用が入る。しかし、 $N$ はアーベルなので、 $N \subseteq \hat{G}$ の作用は自明になり、結局 $\hat{G} / N ≅ G$ の作用が入る。

$s : G \to \hat{G}$ を集合論的な切断で、 $s (1) = 1$ となるものとすると、上で定義された $G$ の作用は $g \in G$ に対して $n \mapsto s (g) n s (g)^{- 1}$ で与えられる。

$s$ は一般には群準同型ではなかったが(そうであれば完全系列が分裂する)、 $s$ がどれほど群準同型から遠いからを以下の関数で定義する:

$s (g) s (h) = f (g, h) s (g h); g, h \in G$
すると、 $π (f (g, h)) = (g) (h) (g h)^{- 1} = 1$ なので、 $f (g, h) \in \ker (π) = N$ となる。つまり、今関数 $f : G \times G \to N$ を定義した。コサイクル条件を満たすことがわかるので、コホモロジー群 $H^{2} (G, N)$ の元を定義する。しかも、切断の選び方は $f (g, h)$ をコバウンダリでしか変化させないので、この対応はwell-definedである。

逆に、任意の関数 $f : G \times G \to A$ が与えられたとき、集合 $N \times G$ に「ツイスト」された演算 $(a, g) *_{f} (b, h) = (a^{g} b \cdot f (g, h), g h)$ を入れたものが群になるかを考える。これには、結合則
$[(n_{1}, g_{1}) *_{f} (n_{2}, g_{2})] *_{f} (n_{3}, g_{3}) = (n_{1}, g_{1}) *_{f} [(n_{2}, g_{2}) *_{f} (n_{3}, g_{3})]$
が必要だが、これはコサイクル条件である。以上の議論により、以下が示せた：

アーベル群の拡大の分類

コホモロジー群 $H^{2} (G, N)$ の元と $G$ -加群 $N$ の $G$ による拡大 $1 \to N \to \hat{G} \to G \to 1$ が一対一対応する。

しかも、この対応によって $H^{2} (G, N)$ の単位元は分裂する拡大 $1 \to N \to N ⋊ G \to G \to 1$ に対応する。

巡回群の拡大

$G$ が巡回群のとき、同型 $H^{2} (G, N) ≅ N^{G} / N_{G} N$ が知られている。ここで、 $N_{G} N := {\prod_{g \in G}^{g} n : n \in N}$ はノルムの像で、 $N^{G} := {n \in N : \forall g \in G,^{g} n = n}$ は $N$ の $G$ -不変部分群である。特に、 $G$ の $N$ への作用が自明のときは、 $N^{G} / N_{G} N ≅ N / | G | N$ である。

Schur–Zassenhaus定理

一般に、 $H^{2} (G, N)$ は指数 $| G |$ を持つので、 $| G |$ と $| N |$ が互いに素であるときは、自己同型 $| G | : N \to N$ が誘導する同型 $H^{2} (G, N) \overset{| G |}{\to} H^{2} (G, N)$ を見ることで $H^{2} (G, N) = 0$ であることが示せる。つまり、位数が互いに素な群による拡大は半直積 $N ⋊ G$ しかない。これは、Schur-Zassenhaus定理の特別な場合である。（ $N$ はアーベルであると仮定していた。この仮定を落としても、コホモロジーの手法で示すことができる。）