文献あり

結合律+左単位元+右逆元=？

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本稿では、群の定義の条件を弱めると共に、そこから生じる右群といわれる半群の構造を紹介する。

群の定義は以下が採用されることが多い。

$G$ と $G$ -二項演算 $\times$ が(1),(2)を満たすとき、 $(G, \times)$ は群であるという。

(1)任意の $a, b, c \in G$ に対して $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
(2)ある元 $e \in G$ が存在して次の2条件を満たす。
①任意の $a \in G$ に対して $a e = e a = a$ が成立する。
②任意の $a \in G$ に対してある $b \in G$ が存在して $a b = b a = e$ が成立する。

①を満たす $e$ は単位元(両側単位元)と呼ばれ、唯一つであることが簡単に示される。また、②の $b$ は $a$ の逆元(両側逆元)と呼ばれ、これも $a$ に対して一意的に存在することが容易に示される。

実は、この定義はもっと弱めることができる。具体的には次のようになる。

$G$ と $G$ -二項演算 $\times$ が次の2条件を満たすとき、 $(G, \times)$ は群になる。
⑴任意の $a, b, c \in G$ に対して $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。
⑵ある元 $e_{r} \in G$ が存在して次の2条件を満たす。
①任意の $a \in G$ に対して $a e_{r} = a$ が成立する。
②任意の $a \in G$ に対してある $b \in G$ が存在して $a b = e_{r}$ が成立する。

①を満たす $e_{r}$ は右単位元と呼ばれ、②を満たす $b$ は $a$ の右逆元と呼ばれる。
上の主張は結合律さえ満たせば、「任意の元に対して“両側”逆元を持たせる“両側”単位元の存在」ではなく、「任意の元に対して“右”逆元を持たせる“右”単位元の存在」を保証しても群になるというものである。

命題1の証明は下の記事をご覧いただきたい。
https://ameblo.jp/metazatunen/entry-12042179065.html

ここで次のような疑問が生じる

「任意の元に対して“右”逆元を持たせる“左”単位元の存在」を仮定するとどのような代数的構造が得られるか？

先程は右逆元,右単位元のセットだったが、右逆元,左単位元のセットで考えてみたのである。この問に答えるための用語をいくつか定義する。

⑴ $G \neq \emptyset$ と $G$ -二項演算 $\times$ が次の条件を満たすとき、 $(G, \times)$ は半群であるという。
条件)任意の元 $a, b, c \in G$ に対して $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ が成立する。

以下、 $S, T$ を半群とし、 $e \in S, \emptyset \neq I \subseteq S$ とする。

⑵任意の元 $a \in S$ に対して $e a = a$ が成立するとき、 $e$ は左単位元であるという。

⑶ $S$ が次の条件を満たすとき、 $S$ は右群であるという。
条件)次の①,②を満たす $e_{l} \in S$ が存在する。
① $e_{l}$ はSの左単位元である。
②任意の元 $a$ に対してある元 $b \in S$ が存在して、 $a b = e_{l}$ となる。

⑷ $S$ において、 $a b = a c \Rightarrow b = c$ が成立するとき $S$ は左消約的であるという。

⑸任意の $a \in I, b \in S$ に対して $a b \in I$ が成立するとき、 $I$ は $S$ の右イデアルであるという。

⑹ $S$ の右イデアルが $S$ しか存在しないとき、 $S$ は右単純であるという。

⑺ $e e = e$ が成立するとき、 $e$ は冪等元であるという。

⑻任意の $a, b \in S$ に対して $a b = b$ が成立するとき、 $S$ は右零半群であるという。

⑼集合 $S \times T$ に演算を $(s_{1}, t_{1}) \cdot (s_{2}, t_{2}) = (s_{1} \cdot s_{2}, t_{1} \cdot t_{2})$ で入れて生じる半群を $S$ と $T$ の直積といい、 $S \times T$ で表す。

⑽写像 $f : S \to T$ で、任意の $x, y \in S$ に対して $f (x y) = f (x) f (y)$ が成立するようなものを準同型という。準同型 $S \to T$ で、全単射なものを同型という。同型 $S \to T$ が存在するとき、 $S$ と $T$ は同型であるという。

上の疑問を解消するために、右群の構造を調べる。

半群 $S$ に対して次の8条件は同値である。
⑴ $S$ は右群である。

⑵任意の元 $a \in S$ に対してある元 $c \in S$ が存在して $a c$ は左単位元となる。

⑶任意の元 $a \in S$ に対してある元 $c \in S$ が存在して $c a$ は左単位元となる。

⑷任意の $a, b \in S$ に対して $a c = b$ となる $c \in S$ が唯一つ存在する。

⑸ $S$ は群と右零半群の直積と同型である。

⑹ $S$ は左消約的な右単純化群である。

⑺ $S$ は左単位元を持つ右単純半群である。

⑻ $S$ は冪等元を持つ右単純半群である。

⑴⇒⑵⇔⑶⇒⑷⇒⑸⇒⑹⇒⑺⇔⑻⇒⑴の順で行う。 $x \in S$ に対して ${x y | y \in S}$ を $x S$ と書く。これは $S$ の右イデアルである。 $S x$ も同様に定める。

⑴⇒⑵ 明らか。

⑵⇒⑶ 任意に $a \in S$ をとる。仮定からある $c \in S$ が存在して $a c$ は左単位元となる。 $d = c a$ が左単位元であることを示せば十分である。任意に $z \in S$ をとる。仮定からある $x \in S$ が存在して $f = d x$ は左単位元となるので $d z = d (f z) = d^{2} x z = c (a c) a x z = c a x z = d x z = f z = z$ となるので、 $d$ は左単位元である。

⑶⇒⑵ 任意に $a \in S$ をとる。仮定からある $c \in S$ が存在して $e = c a$ は左単位元となる。 $S = e S = c a S \subseteq c S \subseteq S$ より $c a S = c S$ が成立する。よって、ある $x \in S$ が存在して $c a x = c e$ となる。仮定からある $d \in S$ が存在して $d c$ は左単位元となるから、左から $d$ を掛けて $a x = e$ となる。

⑶⇒⑷ 存在性は次のように示される。任意に $a, b \in S$ をとる。仮定⑵から、ある $d \in S$ が存在して $a d$ は左単位元となる。よって、 $c = d b$ とすると、 $a c = a (d b) = (a d) b = b$ とはる。
一意性は次のように示される。 $c, c^{'} \in S$ が $a c = b = a c^{'}$ を満たしたとする。仮定⑶から、ある $d \in S$ が存在して $d a$ は左単位元となる。よって、左から $d$ を掛けて $c = c^{'}$ となる。

⑷⇒⑸ $a, b$ に対する $c$ の一意性から $S$ は左消約的であることに注意する。 $a \in S$ をとる。仮定から、ある $e \in S$ が存在して $a e = a$ となる。 $S$ の左単位元全体の集合を $R$ と書くことにする。以下のステップで示す。
① $S e$ は群である。
証明)閉じることと、結合率を満たすことは明らかである。右単位元と右逆元の存在を示す。
(右単位元) $e = e e \in S e$ は右単位元である。実際、任意の元 $x e \in S e (x \in S)$ に対して、 $(x e) e = x (e e) = x e$ が成立する。
(右逆元) $a w \in S e (a \in S)$ を任意にとる。仮定からある元 $x \in a$ が存在して $x a = e$ となる。 $(x e) (a e) = x (e a) e = (x a) e = e e = e$ となる。
よって、命題1より $S e$ は群である。

② $R$ はもとの演算について右零半群である。
$R \neq \emptyset$ であることを示す。 $e \in R$ を示せば十分である。任意に $x \in S$ をとる。 $a (e x) = (a e) x = a x$ であるから左消約性より $e x = x$ を得る。よって、 $e$ は左単位元である。結合律を満たすことと右零半群であることは容易に示される。

③ $S$ と $S e \times R$ は同型である。
$a, b$ に対する $c$ の一意性から $S$ は左消約性を持つことがわかる。仮定から任意の $x \in S$ に対して $x y = x$ を満たす $y$ がただ一つ存在するからそのような $y$ を $e_{x}$ と書くことにする。任意の $x \in S$ に対して $e_{x}$ が左単位元であることを示す。任意に $y \in S$ をとる。 $x (e_{x} y) = (x e_{x}) y = x y$ であるから左消約性から $e_{x} y = y$ を得るので $e_{x}$ は $S$ の左単位元である。写像 $f : S \to S e \times R$ を $f (x) = (x e, e_{x})$ で定める。これが同型であることを示す。
(準同型)
任意に $x, y \in S$ をとる。 $(x y) e_{y} = x (y e_{y}) = x y$ より $e_{y} = e_{x y}$ が成立する。よって、 $f (x y) = ((x y) e, e_{x y}) = (x (e y) e, e_{y}) = ((x e) (y e), e_{x} e_{y}) = (x e, e_{x}) (y e, e_{y}) = f (x) f (y)$ となり準同型性が示される。
(単射)
$f (x) = f (y)$ だとする。 $x e = y e, x_{e} = y_{e}$ である。仮定からある $e^{'} \in S$ が存在して $e e^{'} = e_{x}$ となる。すると、 $x = x e_{x} = x (e e^{'}) = (x e) e^{'} = (y e) e^{'} = y$ となり単射性が示される。
(全射) $(x e, e^{'}) \in S e \times R$ を任意にとる。このとき $f (x e^{'}) = (x e, e^{'})$ である。実際、 $(x e^{'}) e = x (e^{'} e) = x e$ であり $(x e^{'}) e^{'} = x (e^{'})^{2} = x e^{'}$ より $e^{'} = e_{x e^{'}}$ である。

⑸⇒⑹ $G$ を群として $R$ を右零半群とする。 $S = G \times R$ としても一般性は失われない。
(左消約)
$(g_{1}, r_{1}), (g_{2}, r_{2}), (g_{3}, r_{3}) \in G \times R$ が $(g_{1},, r_{1}) \cdot (g_{2}, r_{2}) = (g_{1}, r_{1}) \cdot (g_{3}, r_{3})$ を満たしとする。
第一成分をとって、 $g_{1} g_{2} = g_{1} g_{3}$ を得る。いま、群 $G$ 上で考えているから左から $g_{1}^{- 1}$ を掛けて $g_{2} = g_{3}$ を得る。第二成分をとって $r_{1} r_{2} = r_{1} r_{3}$ を得るがいま、右零半群上で考えているからそのまま計算して $r_{2} = r_{3}$ を得る。よって、 $(g_{2}, r_{2}) = (g_{3}, r_{3})$ を得るので $S$ の左消約性が示された。
(右単純)
$I$ を $S$ の右イデアルとする。 $I = S$ を示す。任意の元 $(g, r) \in S$ をとる。元 $(h, r^{'}) \in I$ をとる。 $(g, r) = (h, r^{'}) (h^{- 1}, r^{'}) (g, r)$ で $I$ は $S$ の右イデアルなので $(g, r) \in I$ となる。よって $I = S$ であるから $S$ の右単純性が示された。

⑹⇒⑺ 元 $a \in S$ をとる。右単純性から $a S = S$ となるのである $e \in S$ が存在して $a e = a$ となる。この $e$ が $S$ の左単位元であることを示す。任意に $x \in S$ をとる。 $a (e x) = (a e) x = a x$ となるから左消約性より $e x = x$ を得る。よって、 $e$ は $S$ の左単位元である。

⑺⇒⑻ 明らか。

⑻⇒⑺ $e$ を冪等元とする。この $e$ が左単位元でもあることを示す。任意に $x \in S$ をとる。 $e S$ は $S$ の右イデアルなので $e S = S$ となる。よって、ある $y \in S$ が存在して $e y = x$ となる。 $e x = e^{2} y = e y = x$ より $e$ が左単位元であることが示された。
　
⑻⇒⑴左単位元を持つことは⑺から従い、後半の主張は $a S = S$ から従う。