天才物理学者ファインマンが行った暗算に挑戦しよう！

ファインマンは、経路積分を発明した天才物理学者です。

「ご冗談でしょう、ファインマンさん」では、何回か暗算勝負を仕掛けていますが、その暗算の方法を紹介します。

※問題に挑戦したい人は、少しずつスクロールしてください。

ファインマンが行った$e^x$の暗算

ネイピア数$e$の定義は、人によってまちまちですが、値は同じです。

では問題です。次の値を概算で求めてください。
$$問1 e^{3.3}$$
$$問2 e^3$$
$$問3 e^{1.4}$$
　
　
　
　
　
ヒント
ファインマンは以下のことを知っています。
$$\mathrm{①}lo{g}_{e}10=2.3026$$
$$\mathrm{②}lo{g}_{e}2=0.69315 (放射能の半減期と崩壊定数の関係式から)$$
$$\mathrm{③}e=2.71828$$
　
　
　
　
　
では、解答です。

ベーテが行った暗算

ファインマンはベーテが行った暗算に驚いていました。

では、次の値を暗算してください。
$$問4 {48}^2$$
ヒントはなしです。
　
　
　
　
　
では、解答です

$50$に近い数字の2乗は、以下の計算式で求められることを利用しています。

これはまだまだ序の口です。
次の値を概算で求めてください。
$$問5 {2.5}^{\frac{1}{3}}$$
$$問6 {28}^2$$
$$問7 \frac{1}{1.73}$$
$$問8 \frac{1}{1.75}$$
　
　
　
　
　
ヒント
ベーテは以下のことを知っています。
$$\mathrm{①}lo{g}_{e}2.5=0.916$$
$$\mathrm{②}lo{g}_{e}1.3=0.262$$
$$\mathrm{③}lo{g}_{e}1.4=0.3365$$
$$\mathrm{④}\sqrt{2}=1.41$$
$$\mathrm{⑤}\sqrt{3}=1.73$$
$$\mathrm{⑥}\frac{4}{7}=0.571428...$$
　
　
　
　
　
では、解答です。

$(1+x{)}^{20}を展開したときのx^{10}の係数$

ファインマンは60秒すれすれで答えられたそうです。
答えは本に載っていなかったので、実際にやってみます。

$$問9 (1+x{)}^{20}を展開したときのx^{10}の係数$$

ちなみに2桁×2桁の暗算については以下の記事にあります。
2桁×2桁の暗算の方法
https://mathlog.info/articles/2198

$\sqrt[3]{1729.03}$

最終問題です。
以下の問題は、日本人が算盤を使っても勝てなかった問題です。
次の値を概算で求めてください
$$問10 \sqrt[3]{1729.03}$$
　
　
　
　
　
ヒント
ファインマンは以下のことを知っているとします。
$$\mathrm{①}(1フィート{)}^3=1728インチ$$
$$\mathrm{②}1フィート=12インチ$$
　
　
　
　
　
では、解答です。

$|x|<<1のとき$
$(1+x{)}^{\frac{1}{n}}\fallingdotseq 1+\frac{1}{n}x$というのは
平均値の定理からわかります。

まとめ

ファインマンはただ丸暗記をしているのではなく、その知識を十分に活用しており、その姿勢は見習いたいものです。