非ユークリッド平面における敷きつめ問題

ユークリッド平面においては正三角形と正方形と正六角形だけが、同じ大きさ同じ形で平面を埋め尽くす正多角形といえる。

非ユークリッド平面のひとつであるところの球体の表面を埋めつくすのは正二角形だ。そして球体の表面(言葉が長いので今後ここではkh面と呼ぶ)上の二角形はすべて正二角形となる。

球体の北極点と南極点を通る大円Lを考える。kh面上の直線はこの大円だ。もう一本、北極点と南極点を通る大円Rを描く。これは二本の辺の長さが等しいために、正二角形である。

LとRが極点でなす角は任意なので、たとえば60度の角度を仮定する。こうして60度刻みで大円を描いてゆけば6つの正二角形でkh面を埋めることができる。つまりn/2π度の角度を持つ正二角形ならばkh面をうめつくす。

では正二角形以外にもkh面を埋める正多角形は存在するのだろうか?

このあといくつかの記事が続きますが肝心なことを書き忘れていました。kh面の大地である球体はユークリッド空間に浮かんでいるものとします。