ピクロスの解は1通りかどうか

$$ピクロスの絵を以下のように定義する$$
$$A = \lbrace \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_{11} & ・・・ & a_{1n} \\ ・・・ & ・・・ & ・・・ \\ a_{n1} & ・・・ & a_{nn} \end{array} \right) \end{eqnarray},　a_{ij} \in \lbrace 0,1 \rbrace, n,i,j \in \mathbb{N} \rbrace$$
$$0は塗りつぶさず、1は塗りつぶすことを意味する$$
$$ピクロスの絵から、絵を描く前に提示される最初の数字群を表すような写像を定義する$$
$$すなわち$$
$$f：A → R_{n[\frac{n+1}{2}]} × C_{[\frac{n+1}{2}]n}$$
$$fの像が、例えば$$
$f(\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray})$
$= (\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $,$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 3\\ \end{array} \right) \end{eqnarray})$
$$となるように定義する$$
$$このとき$$
$f(\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}) $ $=$ $= (\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $,$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray})$
$$また$$
$f(\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}) $ $=$ $= (\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $,$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray})$

$$よって、fは単射ではない$$
$$これは、ピクロスで最初に与えられる数字群R_{n[\frac{n+1}{2}]} × C_{[\frac{n+1}{2}]n}に対し、解は1つではないことを表している$$
$$よって、ピクロスの解は1つに定まらない$$