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コンパクト空間は完備であることの証明について

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久しぶりに数学に触っていたのですが、早速引っかかってしまいました…
質問の内容ですが、正確には「コンパクト空間は完備であることを示す過程」で不明点があります。

前提&証明を追えているところ
$X$:コンパクト
$\lbrace x_n \rbrace$:$X$のコーシー列
$y$$\lbrace x_n \rbrace$の収束先でないとすると、$x_n \in B(y,\epsilon)$となる番号$n$は有限個である.(*)
($B(y.\epsilon)$:$ \Longleftrightarrow $$yの\epsilon$近傍)

そして、ここからが疑問点です。この後、次のような記述があるのですが、

$\lbrace x_n \rbrace$を有限個しか含まない開集合全体を考える。$\lbrace x_n \rbrace$が収束しないとすると、(*)からこの開集合全体は$X$の開被覆になる。

の一文に引っかかっています。$\lbrace x_n \rbrace$を有限個しか含んでいないのに(開集合全体の中に含まれていない$\lbrace x_n \rbrace$もあるはずなのに)、それは$X$の開被覆と言えるのでしょうか。
どなたかよろしくお願いします。

投稿日:202188

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投稿者

アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。 難しいことがあったらここで質問させていただきます。 ご容赦ください。

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