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ぜっとばー

大学数学基礎議論

コンパクト空間は完備であることの証明について

完備,位相空間論,コンパクト集合

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久しぶりに数学に触っていたのですが、早速引っかかってしまいました…
質問の内容ですが、正確には「コンパクト空間は完備であることを示す過程」で不明点があります。

前提＆証明を追えているところ
・ $X$ :コンパクト
・ ${x_{n}}$ : $X$ のコーシー列
・ $y$ が ${x_{n}}$ の収束先でないとすると、 $x_{n} \in B (y, ϵ)$ となる番号 $n$ は有限個である.(*)
( $B (y . ϵ)$ : $⟺$ $y の ϵ$ 近傍)

そして、ここからが疑問点です。この後、次のような記述があるのですが、

${x_{n}}$ を有限個しか含まない開集合全体を考える。 ${x_{n}}$ が収束しないとすると、(*)からこの開集合全体は $X$ の開被覆になる。

の一文に引っかかっています。 ${x_{n}}$ を有限個しか含んでいないのに（開集合全体の中に含まれていない ${x_{n}}$ もあるはずなのに）、それは $X$ の開被覆と言えるのでしょうか。
どなたかよろしくお願いします。

投稿日：2021年8月8日

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投稿者

ぜっとばー

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アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。難しいことがあったらここで質問させていただきます。ご容赦ください。

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