コンパクト空間は完備であることの証明について

前提＆証明を追えているところ
・$X$:コンパクト
・$\lbrace x_n \rbrace$:$X$のコーシー列
・$y$が$\lbrace x_n \rbrace$の収束先でないとすると、$x_n \in B(y,\epsilon)$となる番号$n$は有限個である.(*)
($B(y.\epsilon)$:$ \Longleftrightarrow $$yの\epsilon$近傍)

$\lbrace x_n \rbrace$を有限個しか含まない開集合全体を考える。$\lbrace x_n \rbrace$が収束しないとすると、(*)からこの開集合全体は$X$の開被覆になる。