代数学の基本定理の証明（基本群）
次の古典的な定理を証明する：
任意の定数でない複素数係数多項式$f\in\mathbb C[z]\setminus\mathbb C$は零点を持つ。言い換えると、$\mathbb C$は代数閉体である。
まず、代数トポロジーの準備から始める：
$\mathbb C\setminus\{0\}$の基本群は$\pi_1(\mathbb C\setminus\{0\})\cong\mathbb Z$である。この同型は、整数$n$にループ$[0,1]\to\mathbb C\setminus\{0\}:t\mapsto e^{2\pi int}$を対応させることで与えられる。
$f\colon(0,\infty)\times S^1\to\mathbb C\setminus\{0\}:(r,t)\mapsto rt$が位相同型なので、$\pi_1(\mathbb C\setminus\{0\})\cong\pi_1((0,\infty))\times\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$である。
あるいは、$\exp\colon\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}$が普遍被覆であることを見れば十分である。
代数学の基本定理の証明のアイデア：
定数でない多項式$p(z)=z^n+\cdots$が根をもたないとする。
函数$u_r(t):=p(re^{2\pi it})$を考えると、各実数$r\ge0$に対して連続写像$u_r\colon[0,1]\to\mathbb C\setminus\{0\}$が与えられる。$r=0$のときには定数$u_0(t)=p(0)$なので$0$-homotopeである。$u_r(t)$は連続なので、任意の$r\ge0$に対して$u_r$は$0$-homotopeである。
$|r|$が十分大きければ、$p(z)$の$n-1$次以下の項は無視できるので、$p(z)=z^n$と思える。このとき、$u_r(t)=r^n\cdot e^{2\pi int}$は補題2によって$n\in\mathbb Z$に対応するが、$0$-homotopeでないので、矛盾する。
ここで、$n-1$次以下の項は無視できるのは、以下の理由である：
$p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$とする。$|z|$が十分大きければ、$|z|^n>|a_{n-1}z^n+\cdots+a_0|$となるので、$r$が十分大きければ任意の$s,t\in[0,1]$に対して$(re^{2\pi it})^n-s(a_{n-1}(re^{2\pi i t})^{n-1}+\cdots+a_0)$は根を持たない。これは、$(re^{2\pi it})^n$と$p(re^{2\pi it})$のホモトピーを与えている。
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