代数学の基本定理の証明（基本群）

複素数平面,代数トポロジー,複素数

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次の古典的な定理を証明する：

代数学の基本定理

任意の定数でない複素数係数多項式 $f \in C [z] ∖ C$ は零点を持つ。言い換えると、 $C$ は代数閉体である。

まず、代数トポロジーの準備から始める：

$C ∖ {0}$ の基本群は $π_{1} (C ∖ {0}) ≅ Z$ である。この同型は、整数 $n$ にループ $[0, 1] \to C ∖ {0} : t \mapsto e^{2 π i n t}$ を対応させることで与えられる。

$f : (0, \infty) \times S^{1} \to C ∖ {0} : (r, t) \mapsto r t$ が位相同型なので、 $π_{1} (C ∖ {0}) ≅ π_{1} ((0, \infty)) \times π_{1} (S^{1}) ≅ Z$ である。

あるいは、 $\exp : C \to C ∖ {0}$ が普遍被覆であることを見れば十分である。

代数学の基本定理の証明のアイデア：
定数でない多項式 $p (z) = z^{n} + \dots$ が根をもたないとする。

函数 $u_{r} (t) := p (r e^{2 π i t})$ を考えると、各実数 $r \geq 0$ に対して連続写像 $u_{r} : [0, 1] \to C ∖ {0}$ が与えられる。 $r = 0$ のときには定数 $u_{0} (t) = p (0)$ なので $0$ -homotopeである。 $u_{r} (t)$ は連続なので、任意の $r \geq 0$ に対して $u_{r}$ は $0$ -homotopeである。

$| r |$ が十分大きければ、 $p (z)$ の $n - 1$ 次以下の項は無視できるので、 $p (z) = z^{n}$ と思える。このとき、 $u_{r} (t) = r^{n} \cdot e^{2 π i n t}$ は補題2によって $n \in Z$ に対応するが、 $0$ -homotopeでないので、矛盾する。

ここで、 $n - 1$ 次以下の項は無視できるのは、以下の理由である：

$p (z) = z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{0}$ とする。 $| z |$ が十分大きければ、 $| z |^{n} > | a_{n - 1} z^{n} + \dots + a_{0} |$ となるので、 $r$ が十分大きければ任意の $s, t \in [0, 1]$ に対して $(r e^{2 π i t})^{n} - s (a_{n - 1} (r e^{2 π i t})^{n - 1} + \dots + a_{0})$ は根を持たない。これは、 $(r e^{2 π i t})^{n}$ と $p (r e^{2 π i t})$ のホモトピーを与えている。