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そもそも「分数」とは何か?

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はじめに ―小学校では分数をどのように習ったか

 分数という概念は,数学だけでなく日常生活のいたるところで使われている,とても身近なものです.例えば,何かを等分するときに「何分の何」というような表現をしますね.もちろん数学においては分数が数え切れないほど出てきますし,高校になると多項式の分数(教科書では分数式と呼ばれる)が登場します.
 調べてみると,小学校3,4年で分数の意味と通分をしない加減について,5,6年で分数の加減乗除と小数への変換について学習するそうです.ここで,小学校ではどのように分数の導入がされているのでしょうか.例えば$\frac{3}{4}$について考えてみます.まず,$\frac{1}{4}$という数が,1mのテープなどを例にして「$1$を4つに分けたもの」として説明されます.そして,「その$\frac{1}{4}$が3つ集まったものが$\frac{3}{4}$である」と教えられます.つまり,式でかけば
$$ \frac{m}{n} = \frac{1}{n}\times m$$
ということです.小学校3,4年でこのように教わったあと,小学校5年で割り算としての分数,つまり$\frac{m}{n} = m \div n$という形を習います.
 次に分数の計算をどのように教わるか見てみましょう.まず通分と約分ですが,これはまたテープなどを用いて,「2つに分けたうちの1つ,4つに分けたうちの2つ,6つに分けたうちの3つもすべて長さは同じ」という観察をした後,次の性質

通分と約分

$$ \frac{m}{n} = \frac{m\times l}{n\times l}$$
$$ \frac{m}{n} = \frac{m \div l}{m \div l}$$

を教わります.そして,「通分,約分をして2つの分数の分母をそろえることで足し算,引き算をする」という流れで加減の方法を習います.ここまでは小学校5年で扱うそうです.最後に分数の乗除については,

  • 分数同士の掛け算は,「分母同士,分子同士をそれぞれ掛ける」ことで計算できる
  • 分数同士の割り算は,「割る数を逆数にして,分数の掛け算をする」ことで計算できる

と習います.
 ところで,小学校では分数の他に小数という概念も教わります(小学校4年から).これについては,まず$0.1,\ 0.01,\ 0.001,\ \ldots$という形の小数(つまり$\frac{1}{10^n}$で表される小数)を導入し,「それらと$1$をいくつか組み合わせたもの」として$1.234$のような小数が導入されます.そして,その後「筆算」によって小数の加減乗除を習うことになります.これに上で述べた分数の割り算による表現を使えば,分数の加減乗除は小数の加減乗除と対応することがわかります.つまり,この事実は小学校の時点ですでに知っていることになり,それ以降(中学校や高校)では特に言及なしに使われることになります.
 少し前置きが長くなりましたが,ここから本題に入っていくことにします.

疑問

この記事のテーマは次の問題です.

「分数」とは何か?


「え?どういうこと?さっき説明してたじゃん…」「$m\div n$って表される数じゃないの?」と思った方もいるかもしれません.しかし,次のような疑問には答えられるでしょうか.

  • $1$$n$個に分けたもの」とはどういうことか?
  • $m$$n$で割り切れないとき,$m\div n$はどのように定められる数なのか?
  • 通分,約分(公式1)は例を見たことで導入されたが,本当に成り立っているのか?

 1つ目,2つ目の疑問に対しては,はじめにの最後で触れた小数を思い浮かべるかもしれません.しかし,$0.1,\ 0.01,\ 0.001,\ \ldots$とはどういうものなのでしょうか?これを「$1$を10個に分けたもの」のように説明してしまうと1つ目の疑問に戻ってきてしまいます.
 ここで,数学に親しみのある方の中には2つ目(加えて1つ目)の疑問に対して次のような回答を思いついた人もいるでしょう.


分数の定義?

整数$m,n$に対して,分数$\frac{m}{n}$を式$nx = m$を満たす数$x$として定義する.

ところが,この定義にも問題が残ります.それは,文章中に出てくる「数$x$」のの部分です.その数とは一体なにを指しているのでしょうか?もしかしたら「有理数」や「実数」とすればいいんじゃないか?と思ったかもしれませんが,(中学,高校においては)そもそも有理数は「分数で表せる数」,無理数は「分数で表せない数」と定めていたのでこれでもまた逆戻りしてしまいます.
 では,一体どのようにしたら「分数」というものを正確に定められるのでしょうか.以降,その問題について考えていきます.

以上の話を見て,「そもそも自然数,整数ってなんだ?」という疑問を持った方もいるでしょう.実はこれらも「正確に」定めることができるのですが,その段階から書くとかなり長くなってしまうので,今回はその疑問には触れず自然数,整数については基本的な事柄を認めることにします.

分数を「定義」する

 ここから分数を正確に定めていきます.分数は

  • 「分数」は2つの整数$m,n$に対して定められる($\frac{m}{n}$という形をしているため).
  • 「分数」の分母には$0$は現れない(つまり$\frac{m}{0}$という形はありえない).
  • 「分数」の分母と分子に同じ数をかけても,それらは「同じ」になる.逆に,2つの「分数」が「同じ」なら,どちらかの分数の分母・分子にある整数をかけたものがもう一方の分数になっている.

という性質があるものでした.つまり,これらを加味して定義を行うことになります.

集合の知識がある方へ

予備知識のない方(高校生,中学生など)にも読んでいただけるような平易な解説にするために,なるべく(高校で習うものも含め)集合の知識は用いずに書いています.そのため少し冗長になっていたりぼやかしている部分もありますが,そのような箇所は注意で集合の言葉を使って記述し直すことにします.

Step1:準備

 まず,与えられた整数$m,n$で,$n$$0$でないものに対して,その2つの組を$(m,n)$と書きます.この$(m,n)$に色々な細工をして分数を定めます.簡単のために,以下ではそのような「整数$m$$0$でない整数$n$の組$(m,n)$」のことを前分数と呼ぶことにします(筆者が勝手につけた名前なので一般的ではないことに注意してください.仮の分数なので仮分数にしたいところですがすでに使われているため pre- の意味で"前"をつけました).
 ここで,一般に2つの整数の組$(m,n)$$(n,m)$は異なることに注意してください.中学生のときに習う「座標」を思い出すとそのことがわかると思います(例えば,点$(2,3)$と点$(3,2)$は明らかに異なる点を表します).

集合の知識がある方へ

整数全体の集合を$\mathbb{Z}$と書くと,以上で定めた前分数とは積集合$\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$の元に他なりません.

Step2:「同じさ」を定める

 この章の冒頭で述べたように,2つの分数が等しいなら,どちらかの分数の分母・分子にある整数をかけたものがもう一方の分数になっているのでした.これを参考にして,次の定義を設けます.


前分数の同等

2つの前分数$(a,b),\ (c,d)$同等であるとは,$ad=bc$が成り立つことをいう.前分数$(a,b),\ (c,d)$が同等であるとき,記号で$(a,b) \sim (c,d)$と書く.

 イメージとしては,2つの分数$\frac{a}{b},\ \frac{c}{d}$に対して$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$なら$ad=bc$が成り立つので,これを意識した定義をした,という感じになります.

Step3:分数の定義と通分の証明

 このステップではついに分数を定義します.Step2において,前分数に対し「分数のイコール」に似た同等という概念を定義しました.ここで注意しておきたいのは,同等というのは「イコール」というわけではない,ということです.例えば,2つの前分数$(1,2),\ (2,4)$に対して$1\times 4 = 2\times 2$が成り立つため$(1,2) \sim (2,4)$ですが,明らかに$1\neq 2,\ 2\neq 4$なので$(1,2) \neq (2,4)$です.
 しかし,分数の場合,$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$というように「イコール」が成り立ちますが$1=2,\ 2=4$であるというわけではありません.つまり,分数を定義するためには,$(a,b) \sim (c,d)$のとき$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$となるようにうまく前分数$(a,b)$から"記号"$\frac{a}{b}$を定める必要があります.そこで,次のように分数$\frac{a}{b}$を定義します.


記号$\frac{a}{b}$の定義

前分数$(a,b)$に対して,$a$を分子,$b$を分母とする分数$\frac{a}{b}$を,
$$ \frac{a}{b} = \text{「 $(a,b)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} $$
と定義する.

 「どういうこと?」と思った方もいると思うので詳しく説明します.まず,上の定義より$\frac{a}{b}$という記号は"集まり"を表している,ということに注意します.$(a,b)\sim (c,d)$のとき$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$が成り立つようにしなければならないのでした.$\frac{a}{b},\ \frac{c}{d}$はそれぞれ,
\begin{align*} & \frac{a}{b} = \text{「 $(a,b)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \\ & \frac{c}{d} = \text{「 $(c,d)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \end{align*}
となりますが,$(a,b) \sim (c,d)$なら「$(a,b)$と同等になる前分数$(x,y)$」は「$(c,d)$と同等になる前分数$(x,y)$」であり,またその逆もしかりです.

 このことはなんとなくわかると思いますがしっかり確かめておきます.まず,前分数$(x,y)$$(a,b)$と同等であるとします.つまり$ay = bx$であるとします.$(a,b) \sim (c,d)$と仮定していたので$ad = bc$です.すると,
\begin{align*} b(cy) = (bc)y = (ad)y = d(ay)=d(bx) = b(dx) \end{align*}
となり,$b(cy-dx) = 0$がわかります.ここで,$b \neq 0$であることから,$cy - dx = 0$でなければなりません.ゆえに$cy=dx$,すなわち$(c,d) \sim (x,y)$が成り立ち,「$(a,b)$と同等になる前分数$(x,y)$」が「$(c,d)$と同等になる前分数$(x,y)$」であることがわかりました.
 この逆,「$(c,d)$と同等になる前分数$(x,y)$」が「$(a,b)$と同等になる前分数$(x,y)$」となることも以上と同様にして証明することができます.
 ちなみに,以上の式変形で「$b$で割る」ということをしなかったのは,まだ分数を定義していないため,そもそも(割り切れない場合の)割り算さえ定義されていないからです.

 このことから,
\begin{align*} \frac{a}{b} &= \text{「 $(a,b)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」}\\ &= \text{「 $(c,d)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \\ &= \frac{c}{d} \end{align*}
が成り立ち,結局$(a,b) \sim (c,d)$のとき$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$であることがわかりました.つまり,これで分数を正確に定義することができたことになります!
 以上の結果を用いると,分数の「通分」が成り立つことを証明することができます.

分数の通分

$\frac{a}{b}$を分数,$n$$0$でない整数とする.このとき
$$ \frac{a}{b} = \frac{an}{bn} $$
が成り立つ.

$(a,b) \sim (an, bn)$であれば,上で述べたことから題意を得る.よって$a(bn) = b(an)$を示せばよいが,これは明らかである.

 Step3では,まず,前分数$(a,b)$があったときに,そこから分数$\frac{a}{b}$を「$(a,b)$と同等になる前分数$(x,y)$すべての集まり」と定義し,すると"通分"ができることを正確に証明できることを見ました.しかしここで行ったのはあくまで分数自体の定義をすることであり,つまりまだ分数の足し算や掛け算は定められていません.よって,次にそれらを定める必要があります.

集合の知識がある方へ

Step2, Step3 の内容は,集合$\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$上に関係$\sim$$(a,b) \sim (c,d) \iff ad=bc$と定めると(本文中では明示的に書いていませんが)これは同値関係になり,この同値関係$\sim$による$(a,b)$の同値類を$\frac{a}{b}$と定義する,と書き直すことができます.

Step4: 「足し算」と「掛け算」

 通常の(小学校で習った)分数に対しては,
\begin{align*} &\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \\ & \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \end{align*}
が成り立つのでした.それゆえ Step3 で改めて定義した分数に対してもこのように定義するべきでしょう.つまり,次のようになります.


分数の足し算,掛け算

2つの分数$\frac{a}{b},\ \frac{c}{d}$に対して,新しい分数$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}$を,
\begin{align*} &\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \text{「 $(ad+bc,bd)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \\ &\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \text{「 $(ac,bd)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \end{align*}
と定義する.

 ここで,$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$$\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}$としたとき$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$$\frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'}$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$$\frac{a'}{b'} \times \frac{c'}{d'}$はそれぞれ等しくなってほしいですよね.この$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$それ自体で1つの記号なので,この段階では
\begin{align*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{a'}{b'} + \frac{c}{d} \\ &= \frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'} \end{align*}
という式変形は明らかではありません.つまり,$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'}$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a'}{b'} \times \frac{c'}{d'}$はしっかり定義に基づいて証明する必要があります.では,証明してみましょう.

 $\frac{ad+bc}{bd} = \frac{a'd'+b'c'}{b'd'}$であること,すなわち$(ad+bc, bd) \sim (a'd'+b'c', b'd')$を示せばよい.仮定より$ab' = ba',\ cd'=dc'$であるから,
\begin{align*} (ad+bc)b'd' &= (ab')dd' + bb'(cd') \\ &= (ba')dd' + bb'(dc') \\ &= bd(a'd'+b'c'). \end{align*}
これは$(ad+bc, bd) \sim (a'd'+b'c', b'd')$を意味する.
 次に$\frac{ac}{bd} = \frac{a'c'}{b'd'}$,つまり$(ac, bd) \sim (a'c', b'd')$を示す.上と同様にして,
\begin{align*} (ac)(b'd') = (ab')(cd') = (ba')(dc') = (bd)(a'c') \end{align*}
となるが,これは$(ac, bd) \sim (a'c', b'd')$を意味する.

以上の事実は,数学用語で「分数の加法,乗法の定義はwell-definedである」といい表されます.

 これでやっと分数の足し算や掛け算が行えることになります!例えば
\begin{align*} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1\times 3 + 2\times 1}{2\times 3} = \frac{5}{6} \end{align*}

\begin{align*} \frac{7}{14} + \frac{5}{15} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \end{align*}
といった計算ができますね. 
 引き算については,マイナスの分数を足す,すなわち
\begin{align*} \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left(-\frac{c}{d}\right) \end{align*}
とみることができます.ここで,$-\frac{c}{d}$
\begin{align*} -\frac{c}{d} := \frac{-c}{d} = \frac{c}{-d} \end{align*}
を意味します(2つ目のイコールは$(-c)(-d) = dc$よりわかります).

Step5:分数の割り算

 さて,最後に分数の割り算について見ていきます.まず,(自然数の)割り算$a \div b$$a$$\frac{1}{b}$をかけたものとみることができるのでした.このことから,$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$は分数$\frac{a}{b}$に対して分数$\frac{c}{d}$の「逆数」をかけることで定義できると考えられます.分数$\frac{c}{d}$の逆数は$\frac{c}{d}x=1$をみたす分数$x$ということができ,この$x$は明らかに$\frac{d}{c}$です.以上の議論より,分数の割り算を次のように定義します.


分数の割り算

分数$\frac{a}{b}$と,$0$でない分数$\frac{c}{d}$に対して,新しい分数$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$を,
\begin{align*} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} &:= \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \\ &\ =\text{「 $(ad,bc)$ と同等になる前分数 $(x,y)$ すべての集まり」} \end{align*}
と定義する.

 掛け算の場合により,もし$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'},\ \frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}$であるときには$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a'}{b'} \div \frac{c'}{d'}$となることがわかります.
 以上で分数の割り算がしっかり定義できたため,$a \div b$$\frac{a}{b}$と書いたように,$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$
$$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} $$
と書くことにすれば,これで「分数の分数」という概念も正当化できたことになります.割り算についてはすでに定義していた掛け算についての事実を用いただけだったので追加の議論をせずに済みましたね.

分数式の場合

 前章では,整数に対しその「分数」の厳密な定義はどういうものになるのか,ということを見ました.ここで,はじめにの一番初めにも触れた,多項式に対する「分数式」はどうやって定義できるのか?という疑問が生じます.実はこの「分数式」も整数の場合と同じようにして定義することができるのです.では,実際にどうやるのかを見てみましょう(議論がかぶる部分が多いためさらっと説明することにします).
 まず用語についての注意です.中学数学や高校数学では,項が1つの式を単項式,単項式を足し合わせたものを多項式とよび,単項式と多項式をあわせて整式とよんでいますが,ここでは単項式を項が1つの多項式とみなし,整式という用語の代わりに多項式という言葉を使うことにします.

ここで,そもそも「多項式」ってなに?とか「数や文字をかけ合わせたもの」ってちゃんと説明するとどうなるの?というような疑問を持った方もいると思います.もちろん今までのように「多項式」も厳密に定義を与えることができます.しかし,そのためには少し長い準備が必要なので,今回は「多項式」というもの自体については暗黙の了解とします.

Step1

 多項式$P$$0$でない多項式$Q$に対して,組$(P,Q)$前分数とよびます.整数の場合と同様,これが分数のもととなります.

Step2

 2つの前分数$(P,Q),\ (R,S)$に対して,$(P,Q)$$(R,S)$同等であるとは$PS=QR$が成り立つこととします.また,このとき記号で$(P,Q) \sim (R,S)$と書きます.

Step3

 前分数$(P,Q)$に対して,分数式$\frac{P}{Q}$


分数式

\begin{align*} \frac{P}{Q} = \text{「 $(P,Q)$ と同等になる前分数 $(A,B)$ すべての集まり」} \end{align*}

と定義します.このとき,整数の場合と同様に$(P,Q) \sim (R,S)$のとき$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$が成り立つことがわかります(ぜひ手を動かして実際に確かめてみてください).

Step4

 2つの分数式$\frac{P}{Q},\ \frac{R}{S}$に対して,新しい分数$\frac{P}{Q} + \frac{R}{S}$$\frac{P}{Q} \times \frac{R}{S}$を,


分数式の足し算,掛け算

\begin{align*} &\frac{P}{Q} + \frac{R}{S} = \text{「 $(PS+QR,QS)$ と同等になる前分数 $(A,B)$ すべての集まり」} \\ &\frac{P}{Q} \times \frac{R}{S} = \text{「 $(PR,QS)$ と同等になる前分数 $(A,B)$ すべての集まり」} \end{align*}

と定義します.このとき,また整数の場合と同様に,$\frac{P}{Q}=\frac{P'}{Q'},\ \frac{R}{S} = \frac{R'}{S'}$なら$\frac{P}{Q} + \frac{R}{S} = \frac{P'}{Q'} + \frac{R'}{S'}$$\frac{P}{Q} \times \frac{R}{S} = \frac{P'}{Q'} \times \frac{R'}{S'}$が成り立ちます(これもぜひ確かめてみてください).

 分数式の割り算は特に議論することがないため省略します.以上によって分数式も厳密に定義することができました.

おわりに ―「分数」の拡張と大学の数学の世界

 この記事では,まず小学校で習った分数の概念を振り返り,疑問点を提示しました.そして,ではどうすれば「正確に」分数というものを定義できるのか,ということで2章において分数の「構成」を追っていきました.最後に,その整数に対する分数の構成が分数式の場合にも行える,ということを確認しました.
 実は,今回紹介した正確に分数を定義する方法は環の局所化と呼ばれるものの一例になっています.全く知らない方は「え?」となっていると思うので,(正確さには欠けますが)なんとなく雰囲気だけでも掴んでいただけるような説明をしようと思います.

 まず,私たちに馴染みの深い「整数」は,足し算・引き算・掛け算ができるもので,さらに交換法則,結合法則,分配法則などが成り立っています(これは小学校や中学校で習いますね).また,おそらく中学校や高校で,なぜか「数の範囲が自然数だと引き算は常にできると限らず,数の範囲が整数だと割り算は常にできると限らない……」みたいな「それはそうでしょ」と思うようなことをやったと思います.実は,このことは専門的な(大学で習うような)数学の一つである代数学につながる内容なのです.
 代数学において,整数のような

足し算・引き算・掛け算ができ,何に足しても答えが変わらない数(整数なら$0$)と何にかけても答えが変わらない数(整数なら$1$)があって,結合法則や分配法則"などの条件"が成り立っている「数」の集まり

のことをとよびます(いきなり定義を書いてもある程度用語を知らないと混乱してしまうと思うので,"などの条件"のようにぼかして書いています).注意しておきたいのは,ここでの「数」は私たちが慣れ親しんでいるような数字である必要はなく,常識的には「数」と考えられないようなものであったとしても,それらに足し算・引き算・掛け算のようなものが定まっていてかつ環であるための条件を満たしさえすればよいということです.整数の集まりが満たす「良い条件」を「抜き出して」きて,逆にその抜き出した条件以外を「捨て去る」ことにより得られた一般的な概念がであるというわけです.
 例えば,もちろん整数は環になっています.他に,多項式の集まりは足し算,引き算,掛け算ができ,また整数などは変数を含まない1項の多項式と見れるので$0, 1$も存在して,さらに中学高校で習ったように結合法則や分配法則が成り立ちます.つまり,多項式全体の集まりも環をなします(そもそも環の条件を書いていないので正確に証明したことにはなっていませんが).
 これで「環の局所化」という言葉の「環」の部分はなんとなくわかったと思います.ではその「局所化」とは一体何なのでしょうか?まず,環には足し算・引き算・掛け算は定まっていましたが「割り算」は必ずしもできるとは限りません.これは整数のとき割り算ができなかったことをイメージすればよいです.実は,「環の局所化」とは,環において割り算をできるようにする操作のこと,言い換えればその環に含まれる「数」を使って分数をつくる操作のことをいいます.
 上で述べたように整数全体や多項式全体は環をなしますから,本文で議論した整数の分数をつくる操作や多項式の分数をつくる操作が「環の局所化」の一例となっていることは想像がつくと思います.逆にいえば,「環の局所化」とは,整数・多項式とは違う,しかしそれに似た「数の世界」において整数・多項式の場合と同じように「分数」を構成する操作だといえるでしょう.

 このように,私たちが普段何気なく使っている数学の概念の裏には,奥深い数学の世界が潜んでいます.この記事ではその「普段何気なく使っている数学の概念」の1つとして「分数」というものを取り上げましたが,それ以外にも「整数,実数,多項式,方程式,関数,ベクトル,…」など,掘り下げると興味深い話題で溢れている概念がたくさんあります.もし,今回の話を「面白い!」と感じたらぜひインターネットや本などを使って色々調べてみてください!きっとあなたの好奇心を揺さぶる話題に出会えるはずです.
 今回はここまでです.最後までご覧いただきありがとうございました!!

 

投稿日:202189

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Re_menal
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