整数部分を含む不等式の問題 (未解決)

前提知識 : 特に無し.

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問題

実数$x$に対応させて, $x$を超えない最大の整数即ち$x$の整数部分を$\lfloor x\rfloor$と書きます.

本記事で紹介するのは未解決の不等式です. Wolfram Cloud を使って$x$と$y$が$0$以上$100$以下の範囲での不等式領域を観たところでは, 反例無く成立しているようでした. 私の手計算では, 整数部分についての等式
\begin{align} \lfloor a\rfloor-\lfloor b\rfloor=\lfloor a-b\rfloor+\varepsilon\quad(\varepsilon\in\{0,1\}) \end{align}
を用いれば
\begin{align} -2\leqslant \lfloor\sqrt{x}\rfloor+\lfloor\sqrt{y}\rfloor-\lfloor\sqrt{3y-x}\rfloor\leqslant1 \end{align}
という評価までが少なくとも可能であることを確かめられました.

この不等式に関して, 証明の方針や反例などが有ればお教えいただけると幸いです.

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