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整数部分を含む不等式の問題 (未解決)

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前提知識 : 特に無し.

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問題

実数$x$に対応させて, $x$を超えない最大の整数即ち$x$の整数部分を$\lfloor x\rfloor$と書きます.

$\left|(3+\sqrt{5})x-2y\right|<1$の範囲内に在る如何なる実数$x,\ y$についても, 式
\begin{align} \lfloor\sqrt{x}\rfloor+\lfloor\sqrt{y}\rfloor-\lfloor\sqrt{3y-x}\rfloor \end{align}
の値は$-1$または$0$である.

本記事で紹介するのは未解決の不等式です. Wolfram Cloud を使って$x$$y$$0$以上$100$以下の範囲での不等式領域を観たところでは, 反例無く成立しているようでした. 私の手計算では, 整数部分についての等式
\begin{align} \lfloor a\rfloor-\lfloor b\rfloor=\lfloor a-b\rfloor+\varepsilon\quad(\varepsilon\in\{0,1\}) \end{align}
を用いれば
\begin{align} -2\leqslant \lfloor\sqrt{x}\rfloor+\lfloor\sqrt{y}\rfloor-\lfloor\sqrt{3y-x}\rfloor\leqslant1 \end{align}
という評価までが少なくとも可能であることを確かめられました.

この不等式に関して, 証明の方針や反例などが有ればお教えいただけると幸いです.

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投稿日:2021812

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ゆう
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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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