Test

(1)1人の生徒につき3つの部屋を任意に選べるので、$3^7=2187$ (通り)
(2)(1)から、「Aの部屋に入らない」または「Bの部屋に入らない」または「Cの部屋に入らない」ような場合を除けばよいので、
$2187-(3×2^7-3×1+0)=1806$ (通り)
(3)1人の生徒につき7つの部屋を任意に選べるので、$7^3=343$ (通り)
(4)7つの部屋から3つを選んで並べるような場合の数の総数に等しいので、$7×6×5=210$ (通り)
(5)7つの○と2つの｜を1列に並べて、左から1つ目の｜の左側にある○の個数をAの箱に入れる玉の個数、1つ目と2つ目の｜の間にある○の個数をBの箱に入れる玉の個数、2つ目の｜より右側にある○の個数をCの箱に入れる玉の個数に対応させることができるので、7つの○と2つの｜の並べ方の総数に等しく、$\dfrac{9!}{7!2!}=36$ (通り)
(6)7つの○の間の6ヶ所から2ヶ所を選んで｜を入れれば、(5)と同様ながら各箱に少なくとも1つの玉が入るようにできる。よって、${}_{6}\text{C}_{2}=15$ (通り)
(7)(5)と同様にできて、3つの○と6つの｜の並べ方の総数に等しく、$\dfrac{9!}{3!6!}=84$ (通り)
(8)単に7つの箱から玉の入る箱を3つ選べばよいので、${}_{7}\text{C}_{3}=35$ (通り)
(9)(a,b,c)で3つの部屋に入る人数を表すものとする。(5,1,1)の場合、$\dfrac{{}_{7}\text{C}_{5}× {}_{2}\text{C}_{1}}{2!}=21$ (通り)
(4,2,1)の場合、${}_{7}\text{C}_{4}× {}_{3}\text{C}_{2}=105$ (通り)
(3,2,2)の場合、$\dfrac{{}_{7}\text{C}_{3}× {}_{4}\text{C}_{2}}{2!}=105$ (通り)
(3,3,1)の場合、$\dfrac{{}_{7}\text{C}_{3}× {}_{4}\text{C}_{3}}{2!}=70$ (通り)
以上から、$21+105+105+70=301$ (通り)
※(2)の3組の区別を無くせばよいので、$\dfrac{1806}{3!}=301$ (通り)でもよい。
※第2種スターリング数と呼ばれる。
(10)1つの部屋への分け方は1通り、2つの部屋への分け方は${}_{7}\text{C}_{6}+{}_{7}\text{C}_{5} + {}_{7}\text{C}_{4}=63$ (通り)
(9)で3つの部屋への分け方が301通りなので、求める分け方の総数は、$1+63+301=365$ (通り)
※これを7部屋まで分けられるようにしたものはベル数と呼ばれる。
(11)少なくとも1つの玉が入っているので、最初から1個ずつ入れておけば、残り4つの玉について考えればよいから、(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1)の4通り。すなわち、求める入れ方は、(5,1,1),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)の4通りである。
(12)求める入れ方は、(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)の8通り。
※(11)(12)の一般化は難しい。分割数と呼ばれる数の更に限定されたものになっている。