大学数学基礎解説

閉円板の複素関数の極大値について

バナッハ環,ノルム空間,複素解析

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Banach環についての準備

Banach環

可換環 $A$ 上のBanachノルムとは関数 $∥ ∥ : A \to R_{\geq 0}$ で、以下を満たすものである：

$∥ f ∥ = 0 ⟺ f = 0$
$∥ f g ∥ \leq ∥ f ∥ \cdot ∥ g ∥$ (semimultiplicative)
$∥ f + g ∥ \leq ∥ f ∥ + ∥ g ∥$

Banach環とは可換環と完備なBanachノルムの組 $(A, ∥ ∥)$ である。

任意の完備局所体は付随するノルムでBanach環となる。
任意の環 $A$ と自明なノルム $| a |_{0} := {\begin{cases} 0 & a = 0 \\ 1 & a \neq 0 \end{cases}$
複素数体 $C$ とノルム $∥ ∥ := max {| |_{0}, | |_{\infty}}$ 。ここで、 $| |_{\infty}$ は通常のユークリッド・ノルム。
完備局所体 $k$ と実数 $r > 0$ に対して、 $k ⟨ r^{- 1} T ⟩$ を形式級数 $f = \sum_{i \geq 0} a_{i} T^{i}$ で、 $\sum_{i \geq 0} | a_{i} | r^{i}$ が収束するものの集合とする。このとき、 $∥ f ∥ = \sum_{i \geq 0} | a_{i} | r^{i}$ とする。

一般には、 $∥ f^{n} ∥ = ∥ f ∥^{n}$ すら成り立たない。これが成り立つBanach環をuniformと呼ぶ。

ここで、Banach環の射を以下で定義する：

bounded環準同型

Banach環の環準同型 $φ : A \to B$ がboundedであるとは、定数 $C > 0$ が存在して任意の $f \in A$ に対して $∥ φ (f) ∥ \leq C ∥ f ∥$ となることである。

スペクトル半径

$f \in A$ のスペクトル半径とは $ρ (f) := inf_{n} \sqrt[n]{∥ f^{n} ∥}$ である。

スペクトル半径は上の注意で述べた $∥ f^{n} ∥ = ∥ f ∥^{n}$ が成り立たないという問題に解決策を与える(uniformである)。

スペクトル半径の諸性質

任意の $f, g \in A$ に対して、

$ρ (f^{n}) = ρ (f)^{n}$
$ρ (1) = 1$
$ρ (f g) \leq ρ (f) ρ (g)$
$ρ (f + g) \leq ρ (f) + ρ (g)$

上のほとんどの性質の証明は簡単である。 $ρ (f + g) \leq ρ (f) + ρ (g)$ の証明だけ多少の工夫を要する。

スペクトル半径の連続性

Banach環 $(A, ∥ ∥)$ に対して、スペクトル半径 $ρ : A \to R : f \mapsto ρ (f)$ はノルム $∥ ∥$ に関して連続である。

Banachノルムのsemi-multiplicativity不等式 $∥ f g ∥ \leq ∥ f ∥ \cdot ∥ g ∥$ より、 $∥ f ∥^{n} \leq ∥ f ∥^{n}$ となる。つまり、 $inf_{n} \sqrt[n]{∥ f^{n} ∥} \leq ∥ f ∥$ である。

ここで、 $ε > 0$ を任意にとる。すると、任意の $∥ f - g ∥ < ε$ となる $f, g \in A$ に対して、 $| ρ (f) - ρ (g) | \leq ρ (f - g) \leq ∥ f - g ∥ < ϵ$ となる。

特に、 $ρ$ はノルムになっている。

スペクトル半径が $∥ ∥$ から構成できる自然なuniformなノルムであることは、以下のように定式化できる：

uniformization

Banach環 $A$ のuniformizationとは、 $(A, ρ)$ のseparated completionである。（ここで、 $ρ$ は $∥ ∥$ のスペクトル半径）
これは、次の普遍性を満たす：
任意のuniformなBanach環 $B$ に対して、bounded環準同型 $A \to B$ は $A^{u}$ を通る。

ここで、separated completionは正確には定義しないが、完備化のようなものである。

完備な非アルキメデス局所体 $k$ と実数 $r > 0$ に対して、 $k ⟨ r^{- 1} T ⟩$ のスペクトル半径は：
$ρ (\sum_{i \geq 0} a_{i} T^{i}) = sup_{i} | a_{i} | r^{i}$
である。

これはここでは証明しないが、以下の複素数体の議論のアナロジーである。

複素数体上の形式級数環のスペクトル半径

実数 $r > 0$ に対して、 $f \in C ⟨ r^{- 1} T ⟩$ のスペクトル半径は
$ρ (f) = max_{| z | \leq r} | f (z) | .$

$f (T) = \sum_{i \geq 0} a_{i} T^{i}$ とする。
まず、三角不等式より $max_{| z | \leq r} | f (z) | \leq \sum_{i \geq 0} | a_{i} | r^{i} = ∥ f ∥$ となる。任意の $f$ について成り立つので、正整数 $n$ に対して、 $max_{| z | \leq r} | f (z)^{n} | \leq ∥ f^{n} ∥$ となる。 $n$ 乗根をとって $inf$ を取ると $max_{| z | \leq r} | f (z) | \leq ρ (f)$ を得る。

次に、 $ρ (f) \leq max_{| z | \leq r} | f (z) |$ を示す。 $ρ$ の連続性により、 $f$ を多項式 $f = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} T^{i}$ と仮定して良い。コーシーの積分定理より、 $C$ を原点周りの半径 $r$ の円周とすると、

$| a_{k} | \leq \frac{1}{2 π} \int_{C} \frac{| f (z) |}{| z |^{k}} | d z | \leq \frac{max_{| z | \leq r} | f (z) |}{r^{k}}$
なので、和をとることで
$∥ f ∥ = \sum_{k = 0}^{N} | a_{k} | r^{k} \leq (N + 1) max_{| z | \leq r} | f (z) |$
を得る。 $f$ は任意だったので、 $f^{n}$ と取り替えると、
$∥ f^{n} ∥ \leq (n N + 1) max_{| z | \leq r} | f (z) |^{n}$
なので、
$\sqrt[n]{∥ f^{n} ∥} \leq \sqrt[n]{n N + 1} max_{| z | \leq r} | f (z) |$
で、 $inf$ をとると欲してた結果を得る。