束における素 ideal および極大 ideal について
前回の記事で束における ideal の定義と, それに関する standard という性質について考察しました. そこでは束 $L$ の空でない部分集合 $I$ は
$$ a, b \in I \Rightarrow a \lor b \in I $$
$$ a \in I, x \in L \Rightarrow a \land x \in I $$
をみたすときに ideal とよばれ, またその双対
$$ a, b \in I \Rightarrow a \land b \in I $$
$$ a \in I, x \in L \Rightarrow a \lor x \in I $$
をみたすときに双対 ideal とよばれるのでした.
環における ideal に, 素 (prime) や 極大 (maximal) という性質が付与されるのと同様に, 束の ideal にもそれらの概念が与えられます. 今回はわたしの数学日誌として, 次の命題を紹介し, みなさんにきいていただきたい疑問を書きます.
Boole 束 $B$ において, その ideal は極大 ideal であるときかつそのときに限って素 ideal である.
環 $R$ の ideal $P$ は $P \neq R$ でありかつ
$$ a \cdot b \in P \Rightarrow a \in P \, \mbox{or} \, b \in P $$
をみたすとき, 素 ideal とよばれるのでした. したがって, 環における乗法を, 束における meet $\land$ として対応させると, 束における素 ideal $P$ は次のように定義されます.
$$ a \land b \in P \Rightarrow a \in P \, \mbox{or} \, b \in P $$
素 ideal は $\mathbb{Z}$ の素数の概念を ideal に拡張したものでした. なので, わたしとしてはべき集合 $2^{E}$ における "素数" を拡張したものとして束の素 ideal を定義し, その性質をみてみたいです. ただ, $2^{E}$ における "素数" がわからないので, 環の既約元や素元の概念を束に適用して考えてみたいとおもいます.
整域 $R$ の元 $a, b$ に対してある $q \in R$ が存在して $a = b \cdot q$ をみたすとき, 関係 $b \mid a$ を定義します. $a \in R$ が素元であるとは, $b, c \in R$ に対して $a \mid bc$ ならば $a \mid b$ または $a \mid c$ が成り立つことでした. これを束に対応させます. 束 $L$ の元 $a, b$ に対し, ある $q \in L$ が存在して $a = b \land q$ となるとき $b \mid a$ と定義し, $a \mid b \land c$ ならば $a \mid b$ または $a \mid c$ が成り立つとき $a$ を meet-素元とよぶことにします (これはわたしが勝手に名付けたもので, 他に正しい名前があるのかもしれません).
整域において素元は上のように整除によって定義され得ますが, $p$ が素元であるためには単項 ideal $(p)$ が素 ideal となることが必要十分なので, 単項 ideal $(p)$ が素 ideal であるときに $p$ を素元とよぶ, というふうに定義することもできます. なので束においても, 素 ideal から束における素元というものを定義してみたいとおもいます.
可換環 $R$ の元 $a$ に対して $Ra = \{ xa \mid x \in R \}$ は $R$ の ideal となり, これを単項 ideal $(a)$ というのでした. これを束に適応してみると, 束 $L$ の元 $a$ に対して
$$ (a) = \{ a \land x \mid x \in L \} $$
は $L$ の ideal となり, またこれは $(a) = \{ x \in L \mid x \leqq a \}$ とも表わせます.
いまいるのは環との対応であったので $L$ は分配束であるとします. このとき単項 ideal $(a)$ が素 ideal となるための $a$ に関する必要十分条件は,
$$ a = x \land y \Rightarrow a = x \,\, \mbox{or} \,\, a = y \quad (\forall \, x, y \in L) $$
であることを示します. じつはこの条件は meet-irreducible (meet-既約) という名前がつけられています. 素 ideal から素元を定義します, といったのに「既約」という言葉が出てきてわたし自身も混乱していますが, とりあえず認めて, 後ほどこの meet-既約元が上で整除によって定めた meet-素元と一致することを示します.
いまは, $a \in L$ が meet-既約元であることと, 単項 ideal $(a)$ が素 ideal であることが必要十分であることを示します.
$\quad$ 単項 ideal $(a)$ が素 ideal であるとして, $x, y \in L$ が $a = x \land y$ をみたすとする. まず $a = x \land y \leqq x$ であり, 同様に $a \leqq y$ も成り立つ. 一方で $x \land y = a \leqq a$ なので $x \land y \in (a)$ であり, $(a)$ は素 ideal なので $x \in (a)$ または $y \in (a)$. $x \in (a)$ のとき, $x \leqq a$ となり $a = x$. よって $a$ は meet-既約元である.
$\quad$ 逆に $a \in L$ が meet-既約元であるとする. $x, y \in L$ に対して $x \land y \in (a)$ と仮定すると, $x \land y \leqq a$ であって, さらに分配律より
$$ a \lor (x \land y) = (a \lor x) \land (a \lor y) = a $$
$a$ は meet-既約元であったので $a \lor x = a$ または $a \lor y = a$ となり, $x \leqq a$ または $y \leqq a$. したがって $x \in (a)$ または $y \in (a)$ となって $(a)$ は素 ideal である. (証明終)
気になるのは, 整除によって定義した meet-素元と, 素 ideal によって定義された meet-既約元というふたつの概念が一致するかどうかです.
$\quad$ まず $a \in L$ を meet-素元として, $a = b \land c \quad (b, c \in L)$ とする. このとき $a = b \land c \leqq b$, 同様に $a \leqq c$ なので, $b \leqq a$ を示せば $a$ は meet-既約元であるといえる. 冪等律より, $a = a \land a = b \land c$ が成り立ち $a \mid b \land c$ となる. $a$ は meet-素元であったので $a \mid b$ または $a \mid c$ のいずれかが成立する. $a \mid b$ とすると, ある $r \in L$ が存在して $b = a \land r$ と表わせ, これは $b \leqq a$ を導く. ゆえに $a = b$ となって $a$ は meet-既約元である.
$\quad$ 逆に $a$ が meet-既約元であるとして, $a \mid b \land c$ と仮定する. このときある $q \in L$ が存在して $b \land c = a \land q$ と表わせ, $b \land c \leqq a$ となるので $b \land c \in (a)$. $a$ は meet-既約元であったので単項 ideal $(a)$ は素であり, $b \in (a)$ または $c \in (a)$ が成り立つ. $b \in (a)$ ならば, ある $r \in L$ が存在して $b = a \land r$ となり, これは $a \mid b$ を意味する. ゆえに $a$ は meet-素元である. (証明終)
なので ($L$ が分配束であるという条件は必要ですが) meet-既約元という概念を経由して, 単項 ideal が素であることと, その生成元が meet-素元であることが必要十分であることがわかりました. もしかしたら遠回りだったのかもれませんが, meet-既約という概念を紹介してみたかった気持ちがありました.
いまやったのは, $\mathbb{Z}$ の素数 $\to$ 素元 $\to$ 素 ideal を逆にたどった, 束における素 ideal $\to$ 素元 $\to$ $2^{E}$ における “素数” を考える, ということでした.
ということは冪集合 $2^{E}$ における "素数" とは
$$ P = X \cap Y \Rightarrow P = X \; \mbox{or} \; P = Y $$
をみたす $P \subset E$ のことなのでしょうか. よくわかりません... わたしの直感としては, この条件は単なる素元の性質であって, $2^{E}$ における素数を十分に捉えきれていないと感じます.
束における素 ideal に関してもうひとつ述べるとすれば, 素 ideal の補集合が双対 ideal となる, ということです. じつは [1] pp.28 では素 ideal をこのように定義し, それが $a \land b \in P \Rightarrow a \in P$ または $b \in P$ と同値である, という説明がなされています. なぜ最初に, 補集合が双対 ideal となる ideal を素 ideal と定義したのかがわからなくて, それが冪集合の "素数" と関連しているのではないか, と考えたので, 上のような考察をしました. しかし結局わからなかったので, この同値性について証明して素 ideal については終わりにしたいとおもいます. ざんねんです... わたしの疑問とは, なぜ Birkhoff さんが素 ideal を, “補集合が双対 ideal となるような ideal” と定義したのか, ということです.
$\quad$ $P$ を, その補集合が双対 ideal となるような ideal とする. $a \land b \in P$ とし, さらに $a \notin P$ かつ $b \notin P$ と仮定する. そうすると, $a \in P^{c}$ かつ $b \in P^{c}$ となり, $P^{c}$ は双対 ideal であったので $a \land b \in P^{c}$. これは $a \land b \notin P$ を意味するので, 仮定に反する. したがって $a \in P$ または $b \in P$ のいずれかが成立する.
$\quad$ 逆に ideal $P$ が $a \land b \in P \Rightarrow a \in P$ または $b \in P$ をみたすとすると, 対偶
$$ a \notin P \, \mbox{and} \, b \notin P \Rightarrow a \land b \notin P $$
によって, $a, b \in P^{c}$ ならば $a \land b \in P^{c}$. また, $a \in P^{c}$ と $x \in L$ をとり, $a \lor x \in P$ と仮定すると, $a \leqq a \lor x$ なので $a \in P$ となり矛盾するので $a \lor x \notin P$, すなわち $a \lor x \in P^{c}$. 以上で, $P^{c}$ は双対 ideal である. (証明終)
極大 ideal は環とまったく同じように定義されます. すなわち $M$ が ideal であって, $M$ を真に含むような自明でない ideal が存在しないとき $M$ を極大 ideal とよびます. これは, $L$ の ideal すべてからなる束 $\hat{L}$ における双対原子元です.
この $\hat{L}$ についてすこしおはなしすると, 束 $L$ が与えられたとき, その ideal すべてからなる集合は包含関係においてふたたび束となります. $I, J$ が $L$ の ideal であるとき, $\inf{\{ I, J \}} = I \land J = I \cap J$ であり, また join に関しては,
$$ \sup{\{ I, J \}} = I \lor J = \{ x \in L \mid x \leqq a \lor b, a \in I, b \in J \} $$
となります. 下限についてはよいのですが, 上限について説明すると, 右辺を $K$ として, $x, y \in K$ とすると, ある $a_{1}, a_{2} \in I$ および $b_{1}, b_{2} \in J$ が存在して $x \leqq a_{1} \lor b_{1}$ かつ $y \leqq a_{2} \lor b_{2}$ をみたし,
$$ x \lor y \leqq (a_{1} \lor b_{1}) \lor (a_{2} \lor b_{2}) = (a_{1} \lor a_{2}) \lor (b_{1} \lor b_{2}) $$
となって $x \lor y \in K$ であり, また $x \in K$ と $y \in L$ が $y \leqq x$ であるとすると $a \lor b \geqq x \geqq y \in K \quad (a \in I, b \in J)$ となるので $K$ は $L$ の ideal となります. さらに $I \subset K$ かつ $J \subset K$ であって $K$ は $\{ I, J \}$ の上界であり, また $I \subset M$ かつ $J \subset M$ なる上界 $M \subset L$ をとると, $K \subset M$ となります. なぜならば $x \in K$ を任意にとると, ある $a \in I, b \in J$ が存在して $x \leqq a \lor b$ をみたし, $a, b \in M$ なのでこのとき $a \lor b \in M$ となり, $x \in M$ が成り立つからです.
この考え方は, 次の証明のなかで少しだけ登場します.
環では極大 ideal は素 ideal となるのでした. 束においては, 条件をたくさんつめると, ideal は極大 ideal であるときかつそのときにかぎって素 ideal となります. すなわち Boole 束の極大 ideal は (存在すれば ? ここもよくわかりませんが) 素 ideal であって, 素 ideal はまた極大 ideal となります.
Boole 束とは, 最小元 $0$ および最大元 $1$ をもつ, 分配的でかつ可補的な束のことです. [1] pp.28 ではこの定理の横に "Stone" と添えられてあるので, たぶん Stone さんによる定理なのでしょう. 調べてみましたがたくさんあってわかりませんでした... Stone さんごめんなさい. それを証明してこの記事を終わりにしたいとおもいます.
ちょっとだけ準備をすると, 最小元 $0$ をもつ束の ideal は必ず $0$ を含みます. これは, ideal の定義において "空でない" という仮定によるものです. この "空でない" が必要かどうかについて, いろいろとおはなしがありますが, とりあえずそれを認めると, ideal $I$ は必ずあるひとつの元をもち, それを $a$ とすると, $0 \leqq a$ なので $0 \in I$ となるからです.
$\quad$ $P$ を Boole 束 $B$ の素 ideal とする. 任意の $a \in B$ について $a \notin P$ ならばその補元 $a^{c}$ は $P$ に属する. なぜならば, $P$ は最小元 $0$ を有する束 $B$ の ideal なので $0 = a \land a^{c} \in P$ であり, $P$ は素であったからである. $I$ を $P$ を真に含む $B$ の ideal とすると, ある $a \in B$ が存在して $a \in I$ かつ $a \notin P$ をみたす. したがって上のことから $a^{c} \in P \subset I$ となり, $a \lor a^{c} = 1 \in I$. $I$ は ideal だったので $1$ 以下のものをすべて含み, $B$ と一致する. ゆえに $P$ は極大 ideal である.
$\quad$ 逆に $M$ を $B$ の極大 ideal として $x \land y \in M$ かつ $x \notin M$ と仮定する. そうして $y \in M$ を示せれば $M$ は素 ideal であることがいえる. ここで $B$ の部分集合
$$ x \lor M = \{ y \in B \mid y \leqq x \lor z, z \in M \} $$
を考えると, $x \lor M$ は $M$ を真に含む ideal となる;
$\quad$ まず $x \lor M$ が ideal であることを示す. $y_{1}, y_{2} \in x \lor M$ をとると, ある $z_{1}, z_{2} \in M$ が存在して $y_{1} \leqq x \lor z_{1}$ かつ $y_{2} \leqq x \lor z_{2}$ となるが
$$ y_{1} \lor y_{2} \leqq (x \lor z_{1}) \lor (x \lor z_{2}) = x \lor (z_{1} \lor z_{2}) $$
となり, $z_{1} \lor z_{2} \in M$ なので $y_{1} \lor y_{2} \in x \lor M$. また, $y \in x \lor M$ と $a \in B$ が $a \leqq y$ をみたすとき, $x \lor z \geqq y \geqq a \in x \lor M$. 以上から $x \lor M$ は ideal となる.
$\quad$ $M$ の任意の元 $z$ をとると, $z \leqq x \lor z$ より $z \in x \lor M$ となり, $M \subset x \lor M$ がいえ, さらには, $0 \in M$ なので
$$ x \lor M \ni x \lor 0 = x \notin M $$
と, $M$ を真に含む.
$\quad$ $M$ は極大 ideal であったので $x \lor M = B$ であり, $1 \in x \lor M$ でなければならない. それはある $z \in M$ があって $1 \leqq x \lor z$ をみたすことを意味するが, このとき $x \lor z = 1$. したがって
$$ y = y \land 1 = y \land (x \lor z) = (y \land x) \lor (y \land z) $$
仮定から $x \land y \in M$ であり, また $M$ は ideal なので $y \land z \in M$. ゆえに $y \in M$.(証明終)