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フェルマーの小定理を部分群の個数から導く

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フェルマーの小定理

p:a:p
ap11 (mod p)

|G|=|G/H||H| (G:,H:G)()
G=i=0naiHj,k<n,ajHakH=
G/H={ai|1in}|aiH|=|H|
|G|=n|H|=|G/H||H|

gG|G|
H=<g>HG|H|g
g|G|


|(Z/pZ)×|=p1
a(Z/pZ)×,ap11 (mod p)

補足

mod p
pで割って余りです
例えば、53で割ると2余るので
52 mod 3と表します
3で割ると2余る数は他にもあります
例えば、11852 mod 3

Z/pZ={0,1,2,...,p1}
pで割った余りの集合です
上記の3の場合、1185Z/3Z上では2とみなします

・位数
何回かけたら単位元になるかを表しています
例えば、巡回群<σ>={1,σ,σ2,...,σp1|σp=1,p:}
の位数はpです
このとき|<σ>|=pと表します

<g>:={gε|gG,εZ}
gGから生成できる集合とします
これはGの部分群であり、巡回群になります

G/H
例えば、G={1,σ,σ2,τ,τσ,τσ2}のとき
H={1,σ,σ2}とするとG/H={1,τ}
H={1,τ}とするとG/H={1,σ,σ2}
となり、Hの元とG/Hの元をそれぞれかけた物はすべてGに含まれます

(Z/pZ)×={1,2,...,p1}
右上の×はかけ算を表しています
整数のかけ算の単位元は1なので、0は含まれません

投稿日:2021821
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あーく
あーく
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200433
使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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