フェルマーの小定理を部分群の個数から導く
$$p:素数、a:pと互いに素$$
$$a^{p-1}≡1 (mod p)$$
$$①|G|=|G/H||H| (G:群,H:Gの部分群)(ラグランジュの定理)$$
$$G=\bigcup_{i = 0}^n a_iHかつ∀j,k < n, a_jH \cap a_kH=\varnothing$$
$$とすると、G/H=\lbrace a_i|1 \le i \le n \rbrace、|a_iH|=|H|なので$$
$$|G|=n|H|=|G/H||H|$$
$$②∀g \in Gの位数は|G|の約数$$
$$H=< g>とすると、HはGの部分群かつ|H|はgの位数と一致$$
$$①より、gの位数は|G|の約数$$
$$③フェルマーの小定理$$
$$|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^×| = p-1$$
$$②より∀a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^×,a^{p-1}≡1 (mod p)$$
補足
・$mod p$
$p$で割って余りです
例えば、$5$を$3$で割ると$2$余るので
$5 ≡ 2 mod 3$と表します
$3$で割ると$2$余る数は他にもあります
例えば、$11 ≡ 8 ≡ 5 ≡ 2 mod 3$
・$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \lbrace 0,1,2,...,p-1 \rbrace$
$p$で割った余りの集合です
上記の$3$の場合、$11$も$8$も$5$も$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$上では$2$とみなします
・位数
何回かけたら単位元になるかを表しています
例えば、巡回群$<σ> = \lbrace 1, σ, σ^2,...,σ^{p-1} |σ^p=1, p:素数 \rbrace$
の位数は$p$です
このとき$|<σ>|=p$と表します
・$< g> := \lbrace g^{ε} | g \in G, ε\in \mathbb{Z} \rbrace$
$∀g \in G$から生成できる集合とします
これは$G$の部分群であり、巡回群になります
・$G/H$
例えば、$G=\lbrace 1, σ, σ^2, τ, τσ, τσ^2 \rbrace$のとき
$H=\lbrace 1,σ,σ^2 \rbrace $とすると$G/H=\lbrace 1, τ \rbrace$
$H=\lbrace 1,τ \rbrace $とすると$G/H=\lbrace 1,σ,σ^2 \rbrace$
となり、$H$の元と$G/H$の元をそれぞれかけた物はすべて$G$に含まれます
・$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^× = \lbrace 1,2,...,p-1 \rbrace$
右上の$×$はかけ算を表しています
整数のかけ算の単位元は$1$なので、$0$は含まれません